【洛谷2324】[SCOI2005]骑士精神 IDA*

[SCOI2005]骑士精神

描述

　在一个$5×5$的棋盘上有$12$个白色的骑士和$12$个黑色的骑士，且有一个空位。在任何时候一个骑士都能按照骑

士的走法（它可以走到和它横坐标相差为$1$，纵坐标相差为$2$或者横坐标相差为$2$，纵坐标相差为$1$的格子）移动到空

位上。给定一个初始的棋盘，怎样才能经过移动变成如下目标棋盘：为了体现出骑士精神，他们必须以最少的步

数完成任务。

输入

第一行有一个正整数$T(T<=10)$，表示一共有$N$组数据。接下来有$T$个$5×5$的矩阵，$0$表示白色骑士，$1$表示黑色骑士，$*$表示空位。两组数据之间没有空行。

输出

　对于每组数据都输出一行。如果能在$15$步以内（包括$15$步）到达目标状态，则输出步数，否则输出-$1$。

输入样例 1:

输出样例1：

7

-1

题解

题意：给你一个初始棋盘，要求用最少的步数移动马达到如上图的目标状态（要求棋盘中的马只能走“日”）。

咱们先抛开$IDA^*$，先如何优化爆搜；

这里的马和象棋里的马走法相同，但题目中要求让马走，但是要是马的话，搜索分支比较多，所以我们要考虑让空格走（很显然吧）。

下面步入正题：

$IDA^*$就是带有迭代加深和估价函数优化的搜索。

可能某些人对以上两个名词很陌生，下面一些前置知识可能会带你透彻一下。

前置知识1：迭代加深

定义：

每次限定一个$maxdep$最大深度，使搜索树的深度不超过$maxdep$。

	for(R int maxdep=1;maxdep<=题目中给的最大步数;maxdep++){

		dfs(0,maxdep);//0为出入函数中当前步数，maxdep为传入的最大深度。

		if(success)break;//如果搜索成功则会在dfs函数中将success赋值为1。

	}

使用范围:

1.在有一定的限制条件时使用（例如本题中“如果能在$15$步以内（包括$15$步）到达目标状态，则输出步数，否则输出$－1$。“）。

2.题目中说输出所以解中的任何一组解。

为什么能够降低时间复杂度：

我们可能会在一个没有解（或解很深的地方无限递归然而题目中要求输出任何的一组解），所以我们限制一个深度，让它去遍历更多的分支，去更广泛地求解，(其实和$BFS$有异曲同工之妙)。

前置知识2：估价函数

定义：

$f(n)=g(n)+h(n)$

其中$f(n)$是节点的估价函数，$g(n)$是现在的实际步数，$h(n)$是对未来步数的最完美估价（“完美”的意思是可能你现实不可能实现，但你还要拿最优的步数去把$h(n)$算出来，可能不太好口胡，可以参考下面的实例）。

应用：

    void dfs(int dep,int maxdep){

        if(evaluate()+dep>maxdep)return;

        //evaluate函数为对未来估价的函数，若未来估价加实际步数>迭代加深的深度则return。

        if(!evaluate){

            success=1;

            printf("%d\n",dep);

            return;

        }

        ......

    }

前置知识3：$A^$和$IDA^$的区别

$A^*$是用于对$BFS$的优化；

$IDA^*$是对结合迭代加深的$DFS$ 的优化。

本质上只是在$BFS$和$DFS$上加上了一个估价函数。

何时使用因题而定：

$A^*$（[SCOI2007]k短路）;$IDA^*$（[SCOI2005]骑士精神和UVA11212 Editing a Book 就是上面的两道题）。

前置知识毕！！！

现在就是要想一个比较好的估价函数（若估价函数不好的话，优化效率就并不高，例如若估价函数一直为0，那就是爆搜）。

我们可以想一下，每次空白格子和黑白棋子交换，最优的情况就是每次都把黑白棋子移动到目标格子。

那么你的估价函数就出来了：

    const int goal[7][7]={

        {0,0,0,0,0,0},

        {0,1,1,1,1,1},

        {0,0,1,1,1,1},

        {0,0,0,2,1,1},

        {0,0,0,0,0,1},

        {0,0,0,0,0,0}

    };

    inline int evaluate(){

        R int cnt=0;

        for(R int i=1;i<=5;i++)

            for(R int j=1;j<=5;j++)

                if(mp[i][j]!=goal[i][j])cnt++;

        return cnt;

    }

下面就是爆搜了：

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cctype>

#define ll long long

#define R register

using namespace std;

template<typename T>inline void read(T &a){

    char c=getchar();T x=0,f=1;

    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}

    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}

    a=f*x;

}

int n,m,t,mp[7][7],stx,sty,success;

char ch;

const int dx[]={0,1,1,-1,-1,2,2,-2,-2};

const int dy[]={0,2,-2,2,-2,1,-1,1,-1};

const int goal[7][7]={

    {0,0,0,0,0,0},

    {0,1,1,1,1,1},

    {0,0,1,1,1,1},

    {0,0,0,2,1,1},

    {0,0,0,0,0,1},

    {0,0,0,0,0,0}

};

inline int evaluate(){

    R int cnt=0;

    for(R int i=1;i<=5;i++)

        for(R int j=1;j<=5;j++)

            if(mp[i][j]!=goal[i][j])cnt++;

    return cnt;

}

inline int safe(R int x,R int y){

    if(x<1||x>5||y<1||y>5)return 0;

    return 1;

}

inline void A_star(R int dep,R int x,R int y,R int maxdep){

    if(dep==maxdep){

        if(!evaluate())success=1;

        return;

    }

    for(R int i=1;i<=8;i++){

        R int xx=x+dx[i];

        R int yy=y+dy[i];

        if(!safe(xx,yy))continue;

        swap(mp[x][y],mp[xx][yy]);

        int eva=evaluate();

        if(eva+dep<=maxdep)

            A_star(dep+1,xx,yy,maxdep);

        swap(mp[x][y],mp[xx][yy]);//回溯

    }

}

int main(){

    read(t);

    while(t--){

        success=0;

        for(R int i=1;i<=5;i++){

            for(R int j=1;j<=5;j++){

                cin>>ch;

                if(ch=='*')mp[i][j]=2,stx=i,sty=j;//记录起点即为空白格子

                else mp[i][j]=ch-'0';

            }

        }

        if(!evaluate()){printf("0\n");continue;}

        for(R int maxdep=1;maxdep<=15;maxdep++){

            A_star(0,stx,sty,maxdep);

            if(success){printf("%d\n",maxdep);goto ZAGER;}

        }

        printf("-1\n");

        ZAGER:;

    }

    return 0;

}