#422 Div2 D

#422 Div2 D

题意

假设有 n 个人比赛，每次比赛进行分组，每组人数必须相同，如果一组有 x 人，则那一组要比赛 $ \frac{x * (x - 1)}{2}$次，最终一人获胜，其它人淘汰，不同回合的 x 可以不同，设最终经过 f(n) 次比赛比赛结束（产生冠军）。给出 t, l, r 求 \(t^0*f(l)+t^1*f(l+1)+...+t^{r-l}*f(r)\)。

分析

通过测试几组数据可以发现，分的组越多，总比赛次数越少，那么就要 x 尽可能的小，所以对于参赛的 n 个人， n 的最小质因子 k 为每组的人数，如果 n 为素数，\(f(n)=\frac{n * (n - 1)} 2\)，否则 \(f(n)=f(\frac n k)+\frac n k * f(k)\)，。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 5e6 + 5;
const int INF = 2e9 + 1;
const ll MOD = 1e9 + 7;
ll dp[MAXN];
int is_prime[MAXN];
vector<int> prime;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    for(int i = 2; i < MAXN; i++) {
        if(!is_prime[i]) {
            prime.push_back(i);
            for(ll j = 1LL * i * i; j < MAXN; j += i) {
                is_prime[j] = 1;
            }
        }
    }
    ll t;
    int l, r;
    cin >> t >> l >> r;
    for(int i = 2; i <= r; i++) {
        if(!is_prime[i]) {
            dp[i] = 1LL * i * (i - 1) / 2 % MOD;
        } else {
            for(auto j : prime) {
                if(i % j == 0) {
                    dp[i] = (dp[i / j] + 1LL * i / j * dp[j]) % MOD;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    ll x = 1, ans = 0;
    for(int i = l; i <= r; i++) {
        ans = (ans + x * dp[i]) % MOD;
        x = (x * t) % MOD;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}