CF 464E The Classic Problem

补一补之前听课时候的题。

考虑使用dij算法求最短路，因为边权存不下，所以考虑用主席树维护二进制位，因为每一次都只会在一个位置进行修改，所以可以暴力进位，这样均摊复杂度是对的。

《算法导论》给了证明：对于一个有$k$位的二进制计数器，假设每一次都从第0位$+1$，那么我们发现执行$n$次加法之后，发现第零位会变$\left \lfloor \frac{n}{1} \right \rfloor$次，第一位会变$\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$次...而第$n$位会变$\left \lfloor \frac{n}{2^n} \right \rfloor$次，这样子所有的操作次数就相当于$\sum_{i = 0}^{k - 1}\left \lfloor \frac{i}{2^i} \right \rfloor < n * \sum_{i = 0}^{\infty}\frac{1}{2^i} = 2n$，所以最坏情况下的时间为$O(n)$，每一次操作的均摊时间复杂度为$O(n) / n = O(1)$。

这样子只需要借助主席树写一个时间为$O(log)$的$cmp$函数就可以用堆优化dijkskra了，遇到进位就在线段树上暴力搞一搞，反正复杂度是对的。

数太大了直接用题目中给的$seed = 2, Mod = 1e9 + 7$的哈希哈希一下就好了。

时间复杂度$O(nlog^2n)$。

感觉就像是对着大佬的题解抄了一遍。

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int N = 1e5 + ;
const int P = 1e9 + ;

int n, m, st, ed, lim = , bin[N << ];
int tot = , head[N], pre[N];

struct Edge {
    int to, nxt, val;
} e[N << ];

inline void add(int from, int to, int val) {
    e[++tot].to = to;
    e[tot].val = val;
    e[tot].nxt = head[from];
    head[from] = tot;
}

inline void read(int &X) {
    X = ; char ch = ; int op = ;
    for(; ch > ''|| ch < ''; ch = getchar())
        if(ch == '-') op = -;
    for(; ch >= '' && ch <= ''; ch = getchar())
        X = (X << ) + (X << ) + ch - ;
    X *= op;
}

inline void chkMax(int &x, int y) {
    if(y > x) x = y;
}

namespace PSegT {
    struct SegNode {
        int lc, rc, w;
    } s[N * ];

    int nodeCnt, root[N];

    #define mid ((l + r) >> 1)

    bool cmp(int x, int l, int r, int y) {
        if(l == r) return s[x].w > s[y].w;
        if(s[s[x].rc].w == s[s[y].rc].w) return cmp(s[x].lc, l, mid, s[y].lc);
        else return cmp(s[x].rc, mid + , r, s[y].rc);
    }

    bool modify(int &x, int l, int r, int pos, int y) {
        s[x = ++nodeCnt] = s[y];
        if(l == r) {
            s[x].w = s[y].w ^ ;
            return s[y].w;
        }

        int res;
        if(pos > mid) res = modify(s[x].rc, mid + , r, pos, s[y].rc);
        else {
            res = modify(s[x].lc, l, mid, pos, s[y].lc);
            if(res) res = modify(s[x].rc, mid + , r, mid + , s[y].rc);
        }

        s[x].w = (1LL * s[s[x].rc].w * bin[mid - l + ] % P + s[s[x].lc].w) % P;
        return res;
    }

} using namespace PSegT;

struct Node {
    int x, rt;

    bool operator < (const Node &oth) const {
        return cmp(rt, , lim, oth.rt);
    }

};
priority_queue <Node> Q;

void dfs(int x, int dep) {
    if(x == st) {
        printf("%d\n%d ", dep, x);
        return;
    }

    dfs(pre[x], dep + );
    printf("%d ", x);
}

inline void out() {
    printf("%d\n", s[root[ed]].w);
    dfs(ed, );
    printf("\n");
    exit();
}

int main() {
    read(n), read(m);
    for(int x, y, v, i = ; i <= m; i++) {
        read(x), read(y), read(v);
        add(x, y, v), add(y, x, v);
        chkMax(lim, v);
    }
    lim += ;
    read(st), read(ed);

    for(int i = bin[] = ; i <= lim; i++)
        bin[i] = 1LL * bin[i - ] *  % P;

    nodeCnt = ;
    Q.push((Node) {st, root[st]});
    for(; !Q.empty(); ) {
        Node now = Q.top(); Q.pop();
        if(now.rt != root[now.x]) continue;
        if(now.x == ed) out();
        for(int i = head[now.x]; i; i = e[i].nxt) {
            int y = e[i].to, v;
            modify(v, , lim, e[i].val, root[now.x]);
            if(!root[y] || cmp(root[y], , lim, v)) {
                root[y] = v;
                Q.push((Node) {y, root[y]});
                pre[y] = now.x;
            }
        }
    }

    puts("-1");
    return ;
}