NC20272 [SCOI2009]生日快乐

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题目

题目描述

windy的生日到了，为了庆祝生日，他的朋友们帮他买了一个边长分别为 X 和 Y 的矩形蛋糕。现在包括windy ，一共有 N 个人来分这块大蛋糕，要求每个人必须获得相同面积的蛋糕。

windy主刀，每一切只能平行于一块蛋糕 的一边（任意一边），并且必须把这块蛋糕切成两块。这样，要切成 N 块蛋糕，windy必须切 N-1 次。

为了使得每块蛋糕看起来漂亮，我们要求 N块蛋糕的长边与短边的比值的最大值最小。你能帮助windy求出这个比值么？

输入描述

包含三个整数，X Y N。

1 ≤ X,Y ≤ 10000 ； 1 ≤ N ≤ 10

输出描述

包含一个浮点数，保留6位小数。

示例1

输入

5 5 5

输出

1.800000

备注

100%的数据，满足\(1 \le X,Y \le 10000 ; 1 \le N \le 10\) 。

题解

知识点：DFS。

最大值最小很容易想到二分，然鹅答案并不单调2333。

发现 \(N\) 很小考虑暴搜。对于长宽为 \(x\) 和 \(y\) 的一块蛋糕，如果要切成 \(n\) 块面积相等的，那么每块面积是 \(\frac{xy}{n}\) ，则一定要切在长上 \(\frac{x}{n}\) 的倍数点或宽上 \(\frac{y}{n}\) 的倍数点上，其他切法都不能保证每块都是 \(\frac{xy}{n}\) 。

方法有了就可以搜索了。对于每一块蛋糕（包括原蛋糕）切长或宽切 \(i\) 倍的点，\(i\) 只需到 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 即可，再大会对称。然后再搜索切出来两块的答案，取两块中的长宽比最大值作为这种切法的答案，如果 \(n=1\) 返回长宽比作为答案。然后取长宽两种切法的所有切点中答案的最小值返回，作为这整块的蛋糕切出来的长宽比最大值的最小值。

时间复杂度 \(O(?)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

double ans = 0;
double dfs(double x, double y, int n) {///长x宽y的蛋糕要切成n块
    if (n == 1) return max(x, y) / min(x, y);
    double dx = x / n, dy = y / n, ans = 1e9;///每刀只能切在x/n或y/n的倍数上
    for (int i = 1;i <= (n >> 1);i++) {///切出1~n/2块的大小，再大就对称的了
        double l = max(dfs(i * dx, y, i), dfs(x - i * dx, y, n - i));///切在长上
        double w = max(dfs(x, i * dy, i), dfs(x, y - i * dy, n - i));///切在宽上
        ans = min({ ans, l, w });///取两种情况的最小值
    }
    return ans;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    double x, y;
    int n;
    cin >> x >> y >> n;
    cout << fixed << setprecision(6) << dfs(x, y, n) << '\n';
    return 0;
}