MOOC 数据库笔记（四）：关系代数

关系代数

关系代数概述

特点

基于集合，提供了一系列的关系代数操作：并、差、笛卡尔积（广义积）、选择、投影和更名等基本操作
以及交、连接和关系除等扩展操作，是一种集合思维的操作语言。
关系代数操作以一个或多个关系为输入，结果是一个新的关系。
用对关系的运算来表达查询，需要指明所用的操作，具有一定的过程性。
∩∪×－ρσΠ÷⋈（从左往右分别为：并、交、广义积（笛卡尔积）、差、更名、选择、投影、除、连接）θ ∨∧
Π_{姓名、课程名}(σ_课程号=c2(R⋈S))
是一种抽象的语言，是学习其他数据库语言，如SQL等的基础。

关系代数的基本操作

可分为：集合操作和纯关系操作
(1)集合操作
①UNION(并) R∪S
②INTERSECTION(交) R∩S
③DIFFERENCE(差) R-S
④CARTESIAN PRODUCT(笛卡尔积) R×S
(2)纯关系操作
①PROJECT(投影) Π_A(R)
②SELECT(选择) σ_Con(R)
③JOIN(连接) R⋈(AθB)S
④DIVISION(除) R÷S

关系代数之基本操作

(0).并相容性

某些关系代数操作，如并、差、交等，需满足“并相容性”
参与运算的两个关系及相关属性之间有一定的对应性、对比性或意义关联性。
定义：关系R与关系S存在相容性，当且仅当：
(1)关系R和关系S的属性数目必须相同；
(2)对于任意i，关系R的第i个属性的域必须和关系S的第i个属性的域相同
假设：R(A1,A2,...,An),S(B1,B2,...,Bm)
R和S满足并相容性：n=m并且Domain(Ai)=Domain(Bi)

(1).并(UNION)

定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的并运算结果也是一个关系，记作:R∪S，它由或者出现在关系R中，或者出现在S中的元组构成。
数学描述：R∪S={t|t∈R∨t∈S}，其中t是元组
并运算是将两个关系的元组合并成一个关系，在合并时去掉重复的元组。
R∪S与SUR运算的结果是同一个关系。
汉语中的“或者...或者...”通常意义是并运算的要求。

(2)差(DIFFERENCE)

定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的差运算结果也是一个关系，记作:R-S，它由或者出现在关系R中但不出现在S中的元组构成。
数学描述：R-S={t|t∈R∧t?S}，其中t是元组
R-S与S-R是不同的
汉语中的“是...但不含...”通常意义是差运算的要求。

(3)广义笛卡尔积(CARTESIAN PRODUCT)

定义：关系R(<a₁,a₂,...,a_n>)与关系S(<b₁,b₂,...,b_m>)的广义笛卡尔积（简称广义积，或者积或者笛卡尔积）运算结果也是一个关系，记作：R×S，它由关系R中的关系S的元组进行所有可能的拼接（或串接）构成。
数学描述：R×S={<a₁,a₂,...,a_n,b₁,b₂,...,b_m>|<a₁,a₂,...,a_n>∈R∧<b₁,b₂,...,b_m>∈S}
当一个检索设计到很多表时（如学生表和课程表），便需要将这些表串接或拼接起来，染后才能检索，这时，就要使用广义笛卡尔积运算
是后面学习各种连接运算的基础。
R×S=S×R
两个关系R和S，它们的属性个数分别为n和m，元组个数分别为x和y（R是n度关系，S是m度关系）。
则笛卡尔积R×S的属性个数=n+m。
则笛卡尔积R×S的元组个数=x×y。

(4)选择(SELECT)

定义：给定一个关系R，同时给定一个选择的条件condition（简记con），选择运算结果也是一个关系，记作σ_con(R),它从关系R中选择出满足给定条件condition的元组构成。
数学描述：σ_con(R)={t|t∈R∧con(t)=true}，
设R(A1,A2,...,An)，t是R的元组，t的分量记为t[Ai],或者简写为Ai
条件con由逻辑运算符连接比较表达式组成（逻辑运算符∨，∧，┐，或者写为and，or，not）
比较表达式：XθY，其中X,Y是t的分量、常量或简单函数，θ是比较运算符，θ∈{>,≥,<,≤,=,≠}。

(5)投影(PROJECT)

定义：给定一个关系R，投影运算结果也是一个关系，记作Π_A(R),它从关系R中选出属性包含在A中的列构成。
数学描述：Π_{Ai1,Ai2,...,Aik}(R)={<t[Ai1],t[Ai2],...,t[Aik]>|t∈R}
设R(A1,A2,...,An)
{Ai1,Ai2,...,Aik}∈{A1,A2,...,An}
t[Ai]表示元组t中相应于属性中的分量。
投影运算可以对原关系的列在投影后重新排列
投影操作从给定关系中选出某些列组成新的关系，而选择操作是从给定关系中选出某些行组成新的关系。

关系代数之扩展操作

(1)交(INTERSECTION)

定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的交运算结果也是一个关系，记作：R∩S，它由同时出现在关系R和关系S中的元组构成。
数学描述：R∩S={t|t∈R∧t∈S}，其中t是元组
R∩S和S∩R的运算结果是同一个关系。
交运算可以通过差运算来实现：
R∩S=R-(R-S)=S-(S-R)
汉语中的“既...又...”,“...,并且...”通常意义是交运算的要求。

(2)θ-连接(θ-JOIN,theta-JOIN)

投影与选择操作只是对单个关系（表）进行操作，而实际引用中往往涉及多个表之间的操作，这就需要θ-连接操作。
定义：给定关系R和关系S，R与S的θ连接运算结果也是一个关系，记作R⋈S(AθB)，它由关系R和关系S的笛卡尔积中，选取R中属性A与S中属性B之间满足θ条件的元组构成。
数学描述：R⋈S(AθB)=σ_t[A]θs[B](R×S)
设R(A1,A2,...,An),A∈{A1,A2,...,An}
设S(A1,A2,...,An),B∈{A1,A2,...,An}
t是关系R中的元组，s是关系S中的元组
属性A和属性B具有可比性。
θ是比较运算符，θ∈{＞,≥,＜,≤,＝,≠}
在实际引用中θ-连接操作经常与投影、选择操作一起使用。

关系与自身的θ-连接

有时在使用连接操作时我们需要自连接。这时候我们就要用到更名操作ρ。
使用ρ进行更名操作，ρ_nname(oname)
其中nname为新的名字，oname为以前的名字。

等值连接(Equi-Join)

当θ为=，就是等值连接，等值连接是θ-连接的一个特例(区别于自然连接)。

(1)自然连接(Natural-Join)

定义：给定关系R和关系S，R与S的而自然连接运算也是一个关系，记作R⋈S，它由关系R和关系S的笛卡尔积中，选取相同属性组B上相等的元组所构成。
数学描述：R⋈S=σ_t[B]=s[B](R×S)
自然连接是一种特殊的等值连接。
要求关系R和关系S必须有相同的属性组B（如R,S共有一个属性B₁,则B是B₁,如R,S共有一组属性B₁,B₂,...,B_n,则B是这些共有的所有属性）
R,S属性相同，值必须相等才能连接，即：
R.B₁=S.B₁ AND R.B₂=S.B₂ ... R.B_n=S.B_n才能连接。
要在结果中去掉重复的属性列（因结果中R.B_i始终是等于S.B_i所以可只保留一列即可）。

关系代数之复杂扩展操作

(1)除(Division)

除法运算常用于求解“查询...全部的/所有的...”问题
前提条件：给定关系R（A₁,A₂,...,A_n）为n度关系，关系S(B₁,B₂,...,B_m)为m度关系。如果可以进行关系R与关系S的除运算，当且仅当：属性集{B₁,B₂,...,B_m}是属性集{A₁,A₂,...,A_n}的真子集，即m<n。
定义:关系R和S的除运算结果也是一个关系，记作R÷S，分两部分来定义。
先定义R÷S结果的属性应有哪些？
设属性集{C₁,C₂,...,C_k}={A₁,A₂,...,A_n}-{B₁,B₂,...,B_m}，则有k=n-m则R÷S的结果关系是k度关系，由{C₁,C₂,...,C_k}属性构成。
再定义R÷S的元组怎样组成?
再设关系R(a1,a2,...,an)和关系S(b1,b2,...,bm),那么R÷S结果关系为元组<c1,c2,...,ck>的集合，元组<c1,c2,...,ck>满足下列条件：
它与S中每一个元组<b1,b2,bm>组合形成的一个新元组都是R中的某一个元组<a1,a2,...,an>。(其中，a1,...,an,b1,...,bm,c1,...,ck分别是属性A₁,...,A_n,B₁,...,B_m,C₁,...,C_k的值)
数学描述:R÷S={t|t∈Π_R-S(R)∧∀u∈S(tu∈R)}=Π_R-S(R)-Π_R-S((Π_R-S(R)×S)-R)

(1)外连接(Outer-Join)

外连接问题的提出：有时在进行自然连接操作时会忽略掉没有某一项属性的元组，而我们恰恰需要整理出所有元组，这时候我们就需要外连接。
定义:两个关系R与S进行连接时，如果R(或S）中的元组在S(或R)中找不到相匹配的元组，则为了避免该元组信息丢失，从而将该元组与S（或R）中假定存在的全为空值的元组连接，放置在结果关系中，这种连接称之为外连接(Outer Join)。
外连接=自然连接(或θ连接)+失配的元组(与全空元组形成的连接)
外连接的形式:左外连接、右外连接、全外连接。
左外连接=自然连接(或θ连接)+左侧表中失配的元组
右外连接=自然连接(或θ连接)+右侧表中失配的元组
全外连接=自然连接(或θ连接)+两侧表中失配的元组
左外连接（Left Outer join）记为：R⋊S
右外连接（Right Outer Join）记为：R⋉S
全外连接（Full Outer Join）记为：R⋈S