PCA算法是怎么跟协方差矩阵/特征值/特征向量勾搭起来的?

PCA, Principle Component Analysis, 主成份分析, 是使用最广泛的降维算法.
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(关于PCA的算法步骤和应用场景随便一搜就能找到了, 所以这里就不说了. )

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假如你要处理一个数据集, 数据集中的每条记录都是一个\(d\)维列向量. 但是这个\(d\)太大了, 所以你希望把数据维度给降下来, 既可以去除一些冗余信息, 又可以降低处理数据时消耗的计算资源(用computation budget 来描述可能更形象).

用稍微正式点的语言描述:

• 已知:一个数据集\(D\), 记录(或者样本, 或input pattern)\(x_i \in D\) 是\(d\)维列向量.
• 目标:将每个\(x \in D\) 映射到另一个\(p\)维空间, \(p < d\)(虽然等于也是可以的, 但没什么意义). 得到一个新的数据集\(Z\), 对\(Z\)的要求是尽量保存\(D\)中的有效信息.

那么, 问题就来了. 如何将一个\(d\)维向量映射成一个\(p\)维向量? 答案是基变换. 然而基变换方式不是唯一的, 如何确保变换是最优的? 这就由优化目标"尽量保存原数据集中的信息" 决定了: 最好的基变换能保存最多的信息. 注意了, 这里的比较都是在同一个\(p\)下进行的, 也就是说, 参与竞争的基集(basis set)们, 都把\(d\)维\(D\)映射到了一个新的\(p\)维\(Z\).

那么, (不好意思, 又一个那么. 这不是第一个, 当然也不是最后一个. 是的, 我喜欢用这个词.), 现在面临的问题是, 如何衡量信息的多少? 我并不懂信息科学, 只知道一点, 信息在差异中存在. 如果全是相同的东西, 量再多,它的信息量也没有多少. PCA算法采用方差(variance)来度量信息量.

那么, 如何用variance来度量数据集\(D\)包含的信息量呢? 一个基(basis)一个基地衡量. 数据集在某个基上的投影值(也是在这个基上的坐标值)越分散, 方差越大, 这个基保留的信息也就越多. 不严格的来一句, 一个基集保留下的信息量是每个基保留下的信息量的和.

基于上面的理念, 或者说假设, 我们已经有一种可以有效地找出最优基集的方法了: 贪心算法---先找出保留信息量最大的基向量, 然后是第二大的, 然后然后, 直到找满\(p\)个基向量.

接下来, 将上面的分析用数学语言描述出来.
\(v\)为一个用于变换的基. \(D\)中的某一条记录\(x\)在\(v\)上的投影长度(即坐标值)为: \[proj(x, v) = \frac {v^Tx}{||v||}\]
假如\(v\)为单位向量, 则:\[proj(x, v) = v^Tx\]
所以, 为了方便计算, 我们对\(v\)有了一个约束条件: \(v\)为单位向量. 这个太好说了, normalize 一下就行了.

于是, 整个\(D\)在\(v\)上的投影长度可以打包表示为:\(Xv\), 其中, \(X\)是一个\(m \times d\)的矩阵, 每一行是一条记录, \(m\)是\(D\)中的记录总数目. 在数据预处理时, 我们先将\(X\)每一列的均值变为0: 先算出每一列的均值, 得到均值向量\(\mu\), 然后从每一条记录\(x_i\)中减去\(\mu\): \(x_i \gets x_i - \mu\). 最后用这些预处理后的\(x_i\)组成\(X\).
现在, 我们来计算\(D\)在\(v\)上的信息量, 即所有数据在\(v\)上的投影长度的方差:
\[
\mu (X, v) = 0
\]
\[
info(D, v) = \sigma^2(X, v) = \frac 1m \sum_{i=1}^m (v^Tx_i - \mu)^2 = \frac 1m (Xv)^T Xv = \frac 1m v^T X^T X v
\]
仔细看\(X^T X\)这个东西, 因为做过均值化处理, \(\frac 1m X^T X\), 成为了原数据集\(D\)的协方差矩阵, 用\(C\)表示. 所以
\[
info(D, v) = \sigma^2(X, v) = v^T C v
\]
这就是我们需要最大化的目标函数. 不过, 再回想一下, 我们之前为了方便计算还加了一个条件进来: \(v\)是一个单位向量, 即\(v^Tv = 1\). 把这个条件也加到目标函数里去:
\[
f(v) = v^T C v - \lambda (v^T v - 1)
\]
所以, 这才是我们最终需要优化的目标函数.
now, 求使\(f(v)\)最大的\(v\). \(f(v)\)取得条件极值的必要条件为:
(这个矢量函数求偏导的过程类似于神经网络BP算法求偏导过程, 以后在另一篇文章单独推导.)
\[
\frac {\partial f}{\partial v} = 2Cv - 2\lambda v = 0
\]
\[
Cv = \lambda v
\]
所以, \(v\)为\(C\)的特征向量. 它保存的信息量为:
\[
info(D, v) = v^TCv = v^T \lambda v = \lambda v^Tv = \lambda
\]
于是, 奇迹就这么出现了: 信息量保存能力最大的基向量一定是\(D\)的协方差矩阵的特征向量, 并且这个特征向量保存的信息量就是它对应的特征值.

接下来的戏码你们应该都知道了: 用单位正交阵将\(C\)对角化(\(C\)是对称矩阵, 天生如此)；特征值降序排列, 以排名前\(p\)个特征值对应的特征向量作为新的基集. (这个做法看起来很自然, 但若细细思量, 会发现这一步是PCA算法里水最深的一步, 至少我现在还没真正理解为何要这么做, 听qw学长说要用什么Rayleigh商).

剩下的问题, 比如降维后损失了多少信息, 也很明白了, 就不多讲了.