BZOJ 1002: [FJOI2007]轮状病毒【生成树的计数与基尔霍夫矩阵简单讲解+高精度】

1002: [FJOI2007]轮状病毒

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Description

　　轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子
和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示

　　N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不
同的3轮状病毒，如下图所示

　　现给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒

Input

　　第一行有1个正整数n

Output

　　计算出的不同的n轮状病毒数输出

Sample Input

3

Sample Output

16

HINT

Source

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1002

关于基尔霍夫矩阵：

*算法引入：

*给定一个无向图G，求它生成树的个数t(G);

*

*算法思想：

*(1)G的度数矩阵D[G]是一个n*n的矩阵,并且满足:当i≠j时,dij=0;当i=j时,dij等于vi的度数;

*(2)G的邻接矩阵A[G]是一个n*n的矩阵,并且满足:如果vi,vj之间有边直接相连,则aij=1,否则为0;

*定义图G的Kirchhoff矩阵C[G]为C[G]=D[G]-A[G];

*Matrix-Tree定理:G的所有不同的生成树的个数等于其Kirchhoff矩阵C[G]任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值；

*所谓n-1阶主子式,就是对于r(1≤r≤n),将C[G]的第r行,第r列同时去掉后得到的新矩阵,用Cr[G]表示;

此题推出f[i]=(f[i-1]*3-f[i-2]+2)

下面给出AC代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 inline int read()
 {
     int x=,f=;
     char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'')
     {
         if(ch=='-')
             f=-;
         ch=getchar();
     }
     while(ch>=''&&ch<='')
     {
         x=x*+ch-'';
         ch=getchar();
     }
     return x*f;
 }
 inline void write(int x)
 {
     if(x<)
     {
         putchar('-');
         x=-x;
     }
     if(x>)
     {
         write(x/);
     }
     putchar(x%+'');
 }
 struct data
 {
     int a[],len;
 };
 int n;
 data mul(data a,int k)
 {
     for(int i=;i<=a.len;i++)
         a.a[i]*=k;
     for(int i=;i<=a.len;i++)
     {
         a.a[i+]+=a.a[i]/;
         a.a[i]%=;
     }
     if(a.a[a.len+]!=)
         a.len++;
     return a;
 }
 data sub(data a,data b)
 {
     a.a[]+=;
     int j=;
     while(a.a[j]>=)
     {
         a.a[j]%=;
         a.a[j+]++;
         j++;
     }
     for(int i=;i<=a.len;i++)
     {
         a.a[i]-=b.a[i];
         if(a.a[i]<)
         {
             a.a[i]+=;
             a.a[i+]--;
         }
     }
     while(a.a[a.len]==)
         a.len--;
     return a;
 }
 int main()
 {
     data f[];f[].a[]=;f[].a[]=;
     f[].len=f[].len=;
     n=read();
     for(int i=;i<=n;i++)
         f[i]=sub(mul(f[i-],),f[i-]);
     for(int i=f[n].len;i>;i--)
        write(f[n].a[i]);
     return ;
 }