Hackerearth: Mathison and the Pokémon fights

Mathison and the Pokémon fights code

这是一道比较有意思，出的也非常好的题目。

给定$n$个平面上的点$(x_i, y_i)$，（允许离线地）维护$Q$个操作：
1.  0 $p$ $x$ $y$ 更改第$p$个点为$(x, y)$。
2.  1 $l$ $r$ $x$ $y$ 求第l个到第r个点与$(x, y)$之间的Chebyshev距离之和，即
$$ \sum_{i=l}^r \max\{|x_i-x|, |y_i-y|\}. $$

分析：

Chebyshev距离可以通过变换

$$(x, y) \mapsto (x+y, x-y)$$

转化为Manhattan距离，即 $(x_1, y_1)$与$(x_2, y_2)$的Chebyshev距离 等于 $(x_1+y_1, x_1-y_1)$与$(x_2+y_2, x_2-y_2)$的Manhattan距离的一半（因为变换的时候坐标放大了一倍）。

经过这个变换之后，x坐标和y坐标就相互独立了，因为两个点$(x_1, y_1)$与$(x_2, y_2)$的Manhattan距离为$|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$。

于是转换成了一个更简单的题目：

给定一个长度为$n$的序列$a_i$，（允许离线地）维护$Q$个操作：
1. 0 $p$ $x$ 更改$a_p$为$x$。
2. 1 $l$ $r$ $x$ 求$\sum_{i=l}^r |x-x_i|$。

这题有很多种做法，官方题解的复杂度是$O(n \sqrt n \log n)$，不尽如人意。

我在比赛时成为了全场最快的解法，总时间18.65s，最大点1.16s，大概比速度第二快的（总时间大约30+s）快一倍。

解法是离线的cdq分治+树状数组。

把每个操作分成两个操作：
1. 0 $p$ $x$ 认为是 ①在平面上删除$(p, x_p)$，②在平面上插入$(p, x)$。
2. 1 $l$ $r$ $x$ 认为是 ①求$1\dots r$之和，②求$1\dots l$之和。

这样可以通过cdq维护二维偏序来解决这个问题。

时间复杂度$O((n+Q) \log^2(n+Q))$。