引言

这道题网上的讲解都是直接抄书,没意思,所以想自己写一写,补充一下,便于自己理解。另外,大家都忽略了经典解法,虽然这种解法效率不及第二种,但是我觉得在项目当中阅读性其实很重要,牺牲一点点效率保证代码的可维护性和阅读性是值得的。与此同时,第二种方法其实需要比较好的数学功底,我不认为一般的程序员在毕业多年之后还能保证自己的数学功底,而且在面试的时候你能在短时间和高压下准确的推导吗?我相信有人能做到,但是我不知道我能不能做到,所以经典解法可以作为一种稳妥的替代方案。

题目:0,1,...,n-1 这n个数字排成一个圆圈,从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

测试样例:

输入: 0,1 , 2, 3, 4

输出: 3

经典解法,用环形链表模拟圆圈

源码:

     public static int lastRemaining_1(int n,int m){
if(n<1||m<1) return -1;
List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
for(int i=0;i<n;i++){
list.add(i);
} int current = 0;//从1到m计数
int currentSize = n;//用以记录链表中元素的个数 Iterator<Integer> iterator = list.iterator();
while(currentSize>1){
for(current=1;current<=m;current++){
if(iterator.hasNext()) iterator.next();
else {
//------到链表末尾--------
iterator = list.iterator();
iterator.next();
}
}//end for
iterator.remove();
currentSize--;
}//end while
iterator = list.iterator();
return iterator.next();
}

这个思路大部分人都能立马想到,在从1到m个元素遍历时要注意有没有到达链表的末尾,若到达链表末尾,就要回到表头重新开始遍历。另外,由于java中的迭代器没有求size()的方法,所以需要自己定义一个变量currentSize记录链表中元素的个数。这种方法每删除一个数字需要m步操作,总共n个数字,因此时间复杂度是O(mn),另外还需要维持一个拥有n个元素的链表,即空间复杂度是O(n).

创新的解法

源码:

public static int lastRemaining_2(int n,int m){
if(n<1||m<1) return -1;
int last = 0;
for(int i=2;i<=n;i++){
last = (last+m)%i;
}
return last;
}

这段代码简直精简的爆,这就是数学的魅力啊!但是阅读性?要是在项目中出现这玩意,并且没有专门的注释或者讲解,你认为后期接手项目的人看到这段是什么感觉?估计砸键盘,原地爆炸了。。。

讲解:

定义函数f(n,m),表示每次在n个数字0,1,...,n-1中每次删除第m个数字最后剩下的数字。

在n个数字中,第一个被删除的数字是(m%n)-1,(这里插一句,原书上说是(m-1)%n,我觉得不对,但是这两种答案最后带到递推公式里都能得到一样的结果),我们把这个数字记为K. 在删除掉第一个元素K后,剩下的n-1个数字就是0,1,2,...,k-1,k+1,...,n-1,并且下一次删除从K+1开始计数。那么,在下一次计数的时候其实就相当于在这样一个序列中遍历:K+1,...,n-1,0, 1,... ,  K-1 。这个序列和前一个序列其实是一样的,不一样的是我们把它的顺序修改了一下而已,但是删除元素时遍历顺序是一样的。故经过若干次删除后剩下的数字和前一个序列也应该是一样的。我们把后一个序列每次删除第m个数字最后剩下的数字记为f'(n-1,m),至于为什么记为f'(n-1,m)你看到后面就懂了。那么现在我们最起码可以确定的是f(n,m)=f'(n-1,m)。

我们再来看分析这个序列:k+1,...,n-1,0,1,...,k-1 。我们将这个序列做一个映射,映射结果是形成一个从0到n-2的序列:

k+1     ->    0

k+2     ->    1

......

n-1     ->     n-k-2

0        ->     n-k-1

1        ->     n-k

......

k-1      ->     n-2

  f'(n-1,m)     f(n-1,m)

我们定义映射为p,那么p(x) = (x-k-1)%n 。 它表示如果映射前的数字是x,那么映射后的数字是(x-k-1)%n。该映射的逆映射是p-1(x)=(x+k+1)%n。既然要掌握这个方法,就要彻底搞懂,下面跟着我一起证明一遍:

证明:

令y = p(x),即 y = (x-k-1)%n

则有  y = (x-k-1) +t1n,t1属于整数,且0<= y <n

< --->   x =  y - t1n + k + 1

<---->   x =  (y+k+1) + t2n ,即 y = (x+k+1) + tn,故p-1(x) =  (x+k+1) %n

证明完毕。

现在,我们发现经过映射之后的n-1个数字是不是和原先的n个数字形式上是一样的?只不过少看一个数字n-1而已。那么,对0,1,...,n-2这n-1个数字,排成一个圆圈,从数字0开始每次删除第m个数,剩下的数字是不是可以表示成f(n-1,m)?! 现在有没有发现我们之前为什么要定义那么序列为 f'(n-1,m)? 这是要建立两次删除之间的联系!就是说原始的n个元素,在删除第一个元素k之后,按理说初始序列已经被打乱了,没有规则了;但是我们通过一个映射关系,让序列重新排列成初始序列的形式。这样只要我们找到这样的映射关系,求出两次操作之间的函数关系(迭代规律)就将问题转化成了递归问题。而递归问题的出口很好确定,当n=1时,序列只有一个元素:0,f(1,m)就是这个0!

既然有了映射关系,下面我们求两次迭代操作之间的关系,即如何由f(n-1,m)求得f(n,m)。

求解:

因为f(n,m) = f'(n-1,m),且f'(n-1,m) = (f(n-1,m)+k+1)%n,故f(n,m) = (f(n-1,m)+k+1)%n。 又因为 k = (m%n)-1,带入f(n,m) = (f(n-1,m)+k+1)%n,得:f(n,m) = (f(n-1,m)+m)%n。

因此,当n=1时,f(n,m) = 0

当n>1时,f(n,m) = [f(n-1,m)+m]%n

有了这个递推关系,是不是可以写代码了?可以由上而下的用递归,也可以由下而上的用迭代。递归在这里显然不存在子问题重复求解的问题,但是会有大量的堆栈操作,不如直接用迭代的方式。至于迭代方式的源码,上面已经给出了。 int last = 0; 是当n=1时,f(1,m)的值;后面的for循环就是自下而上的求解f(n,m)的值了。

这种思路非常复杂,但是代码尤其简洁,主要的时间都花在了分析和推导公式上了。该方法时间复杂度为O(n),空间复杂度是O(1),无论是时间复杂度和空间复杂度都要好于第一种方法。

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