Pollard-rho的质因数分解

思路：见参考文章（原理我是写不粗来了）

代码：

用到了快速幂，米勒罗宾素性检验。

 #include <iostream>
 #include <time.h>
 #include <map>
 using namespace std;
 long long an[] = {,,,,,,,};
 map<long long,int> mp;//存因数和对应出现次数
 int num = ;
 long long Random(long long n)//生成0到n之间的整数
 {
     return (double) rand()/RAND_MAX*n+0.5;//(doubel)rand()/RAND_MAX生成0-1之间的浮点数
 }

 long long q_mod(long long a,long long n,long long p)//快速幂
 {
     a = a%p;
     //首先降a的规模
     long long sum = ;//记录结果
     while(n)
     {
         if(n&)
         {
             sum = (sum*a)%p;//n为奇数时单独拿出来乘
         }
         a = (a*a)%p;//合并a降n的规模
         n /= ;
     }
     return sum;
 }

 long long q_mul(long long a,long long b,long long p)//大数模
 {
     long long sum = ;
     while(b)
     {
         if(b&)//如果b的二进制末尾是零
         {
             (sum += a)%=p;//a要加上取余
         }
         (a <<= )%=p;//不断把a乘2相当于提高位数
         b >>= ;//把b右移
     }
     return sum;
 }

 //Miller-Rabin
 bool witness(long long a,long long n)
 {
     long long d = n-;
     long long r = ;
     while(d%==)
     {
         d/=;
         r++;
     }//n-1分解成d*2^r，d为奇数
     long long x = q_mod(a,d,n);
     //cout << "d " << d << " r " << r << " x " << x << endl;
     if(x==||x==n-)//最终的余数是1或n-1则可能是素数
     {
         return true;
     }
     while(r--)
     {
         x = q_mul(x,x,n);
         if(x==n-)//考虑开始在不断地往下余的过程
         {
             return true;//中间如果有一个余数是n-1说明中断了此过程，则可能是素数
         }
     }
     return false;//否则如果中间没有中断但最后是余数又不是n-1和1说明一定不是素数
 }
 bool miller_rabin(long long n)
 {
     const int times = ;//试验次数
     if(n==)
     {
         return true;
     }
     if(n<||n%==)
     {
         return false;
     }
     for(int i = ;i<times;i++)
     {
         long long a = Random(n-)+;//1到(n-1)
         //cout << a << endl;
         if(!witness(a,n))
         {
             return false;
         }
     }
     return true;
 }

 //求gcd
 long long gcd(long long a,long long b)
 {
     return b==?a:gcd(b,a%b);
 }

 //Pollard-rho
 long long Pollard_rho(long long n,long long c)
 {
     //cout << "n "  << n << " c " << c << endl;
     long long i = ,k = ;
     long long x = Random(n-)+;
     long long y = x;
     while(true)
     {
         i++;
         x = (q_mul(x,x,n)+c)%n;
         long long d = gcd(y-x,n);
         if(<d&&d<n)
         {
             return d;
         }
         if(x==y)
         {
             return n;
         }
         if(i==k)
         {
             y = x;
             k<<=;
         }
     }
 }
 void find(long long n,long long c)
 {
     if(n==)//找完了
     {
         return;
     }
     if(miller_rabin(n))//找到了质数
     {
         num++;
         mp[n]++;
         return;
     }
     long long p = n;
     while(p>=n)//找p的因数
     {
         p = Pollard_rho(p,c--);//返回p的因数或1或本身
     }
     find(p,c);//递归地找p的因子
     find(n/p,c);
 }
 int main()
 {
     long long n;
     while(cin >> n)
     {
         num = ;
         mp.clear();
         find(n,);//随机选取的c
         cout << n << " = ";
         if(mp.empty())
         {
             cout << n << endl;
         }
         for(auto ite = mp.begin();ite!=mp.end();ite++)
         {
             cout << ite->first << "^" << ite->second;
             auto i = ite;
             if(++i!=mp.end()) //如果不是最后一个
             {
                 cout << "*";//输出乘号
             }
         }
     }
     return ;

 }

其他分解质因数的方法：

朴素算法：枚举从2到n找n的因子，找到了就不断除，除到不能除为止，再找下一个因子。

为什么保证是素因子，从二开始，假设有二的因子，不断地除直到没有二就能保证二的倍数也没有了。类似于素数筛的思想。

代码：

 map<int,int> mp;
 void decom1(int n)
 {
     for(int i = ;i<=n;i++)
     {
         while(n%i==)
         {
             mp[i]++;
             n /= i;
         }
     }
 }

参考文章：

StanleyClinton，大数因数分解Pollard_rho 算法详解，https://blog.csdn.net/maxichu/article/details/45459533

陶无语，Pollard Rho因子分解算法，https://www.cnblogs.com/dalt/p/8437119.html（讲解原理的多一点，不过至于是否容易理解，嘿嘿）