CF1081C-Colorful Bricks-(dp||组合数)

http://codeforces.com/problemset/problem/1081/C

题意：有n个排成一行板块，有m种颜色，要让这些板块有k对相邻板块不同颜色，有多少种涂色方法？

比如样例2，3块板，2种颜色，1对不同。有4种涂法。

1.黄+绿+绿

2.黄+黄+绿

3.绿+黄+黄

4.绿+绿+黄

为什么是相邻不同？百度翻译讲得含糊其辞。从样例可以推断出来如果第1种情况中，第一个黄 越过第二个绿 直接与第三个绿构成一种情况，则样例不成立。

解题：

dp[i][j]表示长度为i的板块中有j个不同色的情况。

对于第1个板块，肯定是没有不同色的，1个哪来的不同？第1个板块的涂色方法有m种，这应该可以理解，每种颜色都可以涂在第1块上，暂时不考虑其他的东西。

举例：有4块板，3种颜色（用字母a，b，c表示），要2种不同色。

对于第1个板块，有3种情况

a * * *

b * * *

c * * *

本例子要求2个相邻不同色

则对于第2个板块，要创造出1个相邻不同色，则第二个板块要和前面的板块不同色，前面的板块占m种中的1种，则与它不同色的情况有m-1种。dp[i][j] = dp[i-1][j-1] *（m-1）。比如现在的dp[2][1]=dp[1][0]*2=3*2=6;

a b * *    a c * *

b a * *    b c * *

c a * *    c b * *

对于第3个板块，如果要再创造出1个相邻不同色，则dp[3][2]=dp[2][1]*2=6*2=12;

aba*    abc*              aca*     acb*

bab*    bac*              bca*     bcb*

cac*    cab*              cba*     cbc*

对于第4个板块，2个相邻不同色已经够了，则不需要再创造相邻不同色了,按照上一种涂色方法继续涂就好。dp[i][j]=dp[i-1][j];

abaa    abcc              acaa     acbb

babb    bacc              bcaa     bcbb

cacc    cabb              cbaa     cbcc

但是，如果第2块涂的时候不创造相邻不同色，则是这样，dp[i][j]=dp[i-1][j],dp[2][0]=dp[1][0]。

aa**

bb**

cc**

不创造相邻不同色是在已经有足够相邻不同色的情况下派上用场。

接下来第3块想创造1个相邻不同色则还是 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]*(m-1)

aab*   aac*

bba*   bbc*

cca*   ccb*

所以状态转移方程是

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]*(m-1) + dp[i-1][j];

记得求模，随便模。

类似那些dp[1][1],dp[2][2]这种不可能存在的东西当作0处理就可以了，1块板1个不同？？？2块板2个不同？？？

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<math.h>
#include<map>
#include<string>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

ll n,m,k;
ll dp[][];
ll p=;

int main()
{
    while(scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&k)!=EOF)
    {
        memset(dp,,sizeof(dp));
        for(int i=;i<=n;i++)
            dp[i][]=m;///没有不同则是全部板都是一种颜色，无论板多长
        for(int i=;i<=n;i++)
            for(int j=;j<=k;j++)
            dp[i][j] = ( dp[i-][j-]*(m-)%p + dp[i-][j] )%p;
        printf("%lld\n",dp[n][k]);
    }
    return ;
}

dp解法

组合数解法：

k个相邻不同色，至少需要k+1个板块来完成。

对于第1个板块，有m种可能。

剩下还有n-1个板块，在拿出k个板块来和第1个一起创造k个相邻不同色，任取k个，C( n-1,k )。

对于后面这所有的板块，有2种情况。

1.属于k个板块之一，则要与上一个板块不同，才能创造相邻不同色，它有(m-1)种涂色方法。

2.不属于k个板块之一，那么要与上一个板块相同，不变！不需要乘什么乱七八糟的东西。

公式： m * C( n-1,k ) * (m-1)^k

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<math.h>
#include<map>
#include<string>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

ll n,m,k;
ll p=;
ll C[][];///C[i][j]表示从i个里拿j个
void init()
{
    memset(C,,sizeof(C));
    for(int i=;i<;i++)
        C[i][]=C[i][i]=;
    for(int i=;i<;i++)
        for(int j=;j<i;j++)
        C[i][j]=(C[i-][j-]+C[i-][j])%p;///组合恒等式
    /*
    for(int i=0;i<=10;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
            printf("%5lld",C[i][j]);
        printf("\n");
    }*/
}

int main()
{
    init();
    while(scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&k)!=EOF)
    {
        ll ans=m*C[n-][k]%p;
        for(int i=;i<=k;i++)
            ans=ans*(m-)%p;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return ;
}

组合数解法