K：求取两个数的最大公约数的两个算法

相关介绍:

 最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为gcd(a，b)。同样的，a，b，c的最大公约数记为gcd(a，b，c)，多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，这里介绍两种常见的算法，分别为辗转相除法和更相减损术。

辗转相除法：

 辗转相除法，又名欧几里得算法（Euclidean algorithm），目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。

 这条算法基于一个定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。比如10和25，25除以10商2余5，那么10和25的最大公约数，等同于10和5的最大公约数。

 我们可以使用递归的方法来把问题逐步简化。

 首先，我们先计算出a除以b的余数c，把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出b除以c的余数d，把问题转化成求出c和d的最大公约数；再然后计算出c除以d的余数e，把问题转化成求出d和e的最大公约数……

以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以整除，或者其中一个数减小到1为止。

示例代码:

public int getGreatestCommonDivisor(int numberA,int numberB)
{
    int result=1;
    if(numberA>numberB)
        result=gcd(numberA,numberB);
    else
        result=gcd(numberB,numberA)
    return result;
}
//用于递归的求解最大公约数
private int gcd(int a,int b)
{
    if(a%b==0)
        return b;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

对于辗转相除法，当两个整数的值较大时，做a%b运算的性能会较低。但是当两个数的值相差较大时，其运行的计算的次数较少。

更相减损术:

 更相减损术，出自于中国古代的《九章算术》，也是一种求最大公约数的算法。

 他的原理更加简单：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。比如10和25，25减去10的差是15,那么10和25的最大公约数，等同于10和15的最大公约数。

 由此，我们同样可以通过递归来简化问题。首先，我们先计算出a和b的差值c（假设a>b），把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出c和b的差值d（假设c>b），把问题转化成求出b和d的最大公约数；再然后计算出b和d的差值e（假设b>d），把问题转化成求出d和e的最大公约数……

以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以相等为止，最大公约数就是最终相等的两个数。

示例代码:

public int gcd(int numberA,int numberB)
{
    if(numberA==numberB)
        return numberA;
    if(numberA>numberB)
        return gcd(numberA-numberB,numberB);
    else
        return gcd(numberBa-numberA,numberA);
}

对于更相减损术，其依靠的是两数求差的方式来递归的，当其两个数相差悬殊的时候，递归调用进行计算的次数较多。

为此，考虑将辗转相除法和更相减损术这两个方法结合起来使用，可以达到更优的性能。我们可以发现，对于给定的正整数a和b，不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公约数函数：

1. 当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)

2. 当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)

3. 当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)

4. 当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。

比如计算10和25的最大公约数的步骤如下：

1. 整数10通过移位，可以转换成求5和25的最大公约数

2. 利用更相减损法，计算出25-5=20，转换成求5和20的最大公约数

3. 整数20通过移位，可以转换成求5和10的最大公约数

4. 整数10通过移位，可以转换成求5和5的最大公约数

5. 利用更相减损法，因为两数相等，所以最大公约数是5

在两数比较小的时候，暂时看不出计算次数的优势，当两数越大，计算次数的节省就越明显。

示例代码如下:

public int gcd(int numberA,int numberB)
{
    if(numberA==numberB)
        return nmberA;
    //保证参数A用于大于等于参数B，为减少代码量
    if(numberA<numberB)
        return gcd(numberB,numberA);
    else
    {
        //和1做按位与运算，判断奇偶 if(numberA&1==0 && numberB&1==0)
            return gcd(numberA>>1,numberB>>1);
        else if(numberA&1==0 && numberB&1==1)
            return gcd(numberA>>1,numberB);
        else if(numberA&1==1&&numberB&1==0)
            return gcd(numberA,bumberB>>1);
        else
        return gcd(numberA,numberA-numberB);
    }
}

最后总结一下上述所有解法的时间复杂度：

1. 辗转相除法：时间复杂度不太好计算，可以近似为O(log(min(a, b)))，但是取模运算性能较差。

2. 更相减损术：避免了取模运算，但是算法性能不稳定，最坏时间复杂度为O(max(a, b)))

3. 更相减损术与移位结合：不但避免了取模运算，而且算法性能稳定，时间复杂度为O(log(max(a, b)))

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博文参考自:漫画算法：辗转相除法是什么鬼？