（数论）51NOD 1079 中国剩余定理

一个正整数K，给出K Mod 一些质数的结果，求符合条件的最小的K。例如，K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合条件的最小的K = 23。

 

Input

第1行：1个数N表示后面输入的质数及模的数量。（2 <= N <= 10)
第2 - N + 1行，每行2个数P和M，中间用空格分隔，P是质数，M是K % P的结果。（2 <= P <= 100, 0 <= K < P)

Output

输出符合条件的最小的K。数据中所有K均小于10^9。

Input示例

3
2 1
3 2
5 3

Output示例

23

解：
方法一

 #include <stdio.h>

 typedef struct
 {
     int p, m;
 }str;

 str s[];

 int cmp(const void *a, const void *b)
 {
     return ((str *)a)->p > ((str *)b)->p ? - : ;
 }

 int main()
 {
     int n;
     while (scanf_s("%d", &n) != EOF)
     {
         long long mult = ;
         int ans;
         for (int i = ; i < n; i++)
         {
             scanf_s("%d%d", &s[i].p, &s[i].m);
             mult *= s[i].p;
         }
         qsort(s, n, sizeof(str), cmp);
         for (int i = , flag = ; flag && i * s[].p <= mult; i++)
         {
             ans = s[].p * i + s[].m;
             for (int j = ; ans % s[j].p == s[j].m;j++)
             {
                 if (j == n - )
                 {
                     flag = ;
                     break;
                 }
             }
         }
         printf("%d\n", ans);

     }
 }

改进法一后的法二：

 #include <stdio.h>

 int main()
 {
     int n;
     while (scanf_s("%d", &n) != EOF)
     {
         int a, b, c, d;
         scanf_s("%d%d", &a, &b);
         for (int i = ,j; i < n; i++)
         {
             scanf_s("%d%d", &c, &d);
             for (j = ; (a * j + b) % c != d; j++);
             b = a * j + b;
             a *= c;
         }
         printf("%d\n", b);
     }
 }

法三：

中国剩余定理（https://baike.baidu.com/item/孙子定理/2841597?fromtitle=%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%9A%E7%90%86&fromid=11200132&fr=aladdin）+ 拓展欧几里得

（注意中国剩余定理必满足使用拓展欧几里得求逆元的条件，即n个不同质数，其中n-1个的乘积必与剩下的1个互质）

 #include <stdio.h>

 int inv[], pm[];

 void Ex_gcd(int a, int b, int *x, int *y);

 int main()
 {
     int t;
     while (scanf_s("%d", &t) != EOF)
     {
         long long M = , ans = ;
         for (int i = ; i < t; i++)
         {
             scanf_s("%d%d", &pm[i], &pm[i + ]);
             M *= pm[i];
         }
         for (int i = , temp; i < t; i++)
         {
             Ex_gcd(M / pm[i], pm[i], &inv[i], &temp);
             inv[i] = (inv[i] + pm[i]) % pm[i];
             ans = (ans + M / pm[i] * inv[i] * pm[i + ]) % M;
         }
         printf("%d\n", ans);
     }
 }

 void Ex_gcd(int a, int b, int *x, int *y)
 {
     if (b == )
     {
         *x = ;
         *y = ;
         return;
     }
     Ex_gcd(b, a%b, x, y);       //或者可以这么写
     int t = *y;                 //ex_gcd(b, a%b, y, x); 
     *y = *x - a / b * (*y);     //*y = *y - (a / b)**x;
     *x = t;                     //return;
     return;
 }