首先安利自己倍增求LCA的博客,前置(算不上)知识在此。

LCA有3种求法:倍增求lca(上面qwq),树链剖分求lca(什么时候会了树链剖分再说。),还有,标题。

是的你也来和我一起学习这个了qwq。

开始吧。

众所周知,每当你dfs时,你都能产生一棵dfs树,可以根据你的dfs序来构建。

such as(丑陋的画风):

一个dfs的顺序。

以这个为例:

那么我们写出他的遍历顺序:

假如我们要求3,8(wtf?)的LCA,

那么我们首先写出他的bfs序:

123432565217871。

然后留意一下我们要求的两个数的位置。

123432565217871。

我们发现这样一个事情

两个数的LCA,一定在前一个数最后一次出现的位置(在bfs序中)。

感性证明

对于前一个数最后一次出现的位置,他的意义就是当前节点的子树已经遍历完了,并且正在进行回溯!(拍桌,划重点!)。

也就是说,他要回溯到他的祖先了,而它的祖先同样也是后一个节点的祖先,一定在后一个节点遍历前,前一个节点回溯后。

前一个节点<lca<后一个节点。

证毕。

那么,我们只要找到dfs遍历顺序中的 “前一个数最后一次出现的位置,后一个数第一次出现的位置”,这个区间取出区间最小值,即是两个节点的lca。

或许有人会说:为什么最小值一定是lca呢?

又需要证明了。

我们从几何学的角度来解释:

由图可知,两个节点分别在LCA的两个不同的子树中。

当A节点最后一次遍历完,经过一系列回溯,一定能回溯的LCA。

但是因为LCA的子树没有遍历完(链式存图i=edge[i].to),所以它只会遍历到LCA,然后继续遍历lca的子树直到遍历到B点。

感性证毕。

内么,区间最小值且不带修改的我们很容易想到st表

所以,dfs序+RMQ求LCA成立。

复杂度nlogn查询+o1查询,三者最优。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 1e5 + ;
vector<int> g[M] ;
int n ; vector<int> vs ;//dfs order
int tot ;
int orm[M] ;
int id[M] ;
int dep[M] ; int d[M][] ;//RMQ
void dfs (int o , int u ,int DEP) {
int tmp = tot ++ ;
dep[u] = DEP ;
id[u] = vs.size () ;
orm[tmp] = u ;
vs.push_back (tmp) ; for (int i = ; i < g[u].size () ; i ++) {
int v = g[u][i] ;
if (v == o) continue ;
dfs (u , v , DEP + ) ;
}
int len = vs.size () ;
if (vs[len-] == tmp) vs.push_back (vs[id[o]]) ;
else vs.push_back (tmp) ;
} void init_RMQ () {
for (int i = ; i < *n- ; i ++) d[i][] = vs[i] ;
for (int j = ; ( << j) <= n ; j ++) {
for (int i = ; i + ( << j) <= n ; i ++) {
d[i][j] = min (d[i][j-] , d[i+(<<(j-))][j-]) ;
}
}
} int RMQ (int l , int r) {
printf ("l = %d , r = %d\n" , l , r ) ;
int k = ;
while ( (<<(k+)) <= r - l + ) k ++ ;
int tmp = min (d[l][k] , d[+r-(<<k)][k]) ;
return orm[tmp] ;
}
void Print () {
for (int i = ; i < *n- ; i ++) printf ("%3d " , i ) ; puts ("") ;
puts ("dfs order:") ;
for (int i = ; i < *n- ; i ++) printf ("%3d " , vs[i]) ; puts ("") ;
puts ("deep:") ;
for (int i = ; i < n ; i ++) printf ("%3d " , dep[i]) ; puts ("") ;
puts ("id :") ;
for (int i = ; i < n ; i ++) printf ("%3d " , id[i]) ; puts ("") ;
} void LCA () {
dfs (,,) ;
init_RMQ () ;
Print () ;
} int main () {
cin >> n ;
for (int i = ; i < n - ; i ++) {
int u , v ;
cin >> u >> v ;
g[u].push_back (v) ;
g[v].push_back (u) ;
}
LCA () ;
int Q ;
cin >> Q ;
while (Q --) {
int u , v ;
cin >> u >> v ;
if (id[u] > id[v]) swap (u , v ) ;
int ans = RMQ (id[u] , id[v]) ;
printf ("The %d and %d the lastest ans is %d , and they are away from %d\n" , u , v , ans , dep[u]+dep[v]-*dep[ans]) ;
}
return ;
}

——lyfdalao

完结。

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