POJ - 2112 Optimal Milking (dijkstra + 二分 + 最大流Dinic）

（点击此处查看原题）

题目分析

题意：在一个农场中有k台挤奶器和c只奶牛，每个挤奶器最多只能为m只奶牛挤奶，每个挤奶器和奶牛都视为一个点，将编号1~k记为挤奶器的位置，编号k+1~k+c记为奶牛的位置，奶牛只能在这k+c个位置之间移动，输入将给出每个位置和其余k+c个位置的之间道路距离，其中0代表无法到达

问让所有奶牛进行挤奶的情况下（也就是让每头奶牛都走到一个挤奶器的位置上去，而且这个挤奶器上的奶牛不得超过m个），求c只奶牛中走的最远的奶牛的最小移动总距离。

思路：首先思考到这题目要二分答案，因为移动最远的奶牛的移动总距离越大，就越有可能满足要求

然后我们用c次dijkstra求出每个奶牛到所有挤奶器的最近距离，再根据我们二分的奶牛移动最远距离，限制了每个奶牛可以到达的挤奶器

随后我们就要判断这种情况下是否所有奶牛都可以到达一个挤奶器，而且每个挤奶器上的奶牛不超过m个，此时就是一个明显的求最大流问题了，建图如下：

1）由源点向每个奶牛建一条容量为1的边

2）由每个挤奶器向汇点建一条容量为m的边

3）由每个奶牛向其可以到达的所有挤奶器建一条容量为inf的边

最后，我们跑出这个图的最大流，如果最大流等于c，说明当前的情况是满足的，需要尝试更小的最远的距离；如果最大流不等于c，说明当前的最远距离太小了，以至于有奶牛无法到达挤奶器，需要尝试更大的最远距离。

代码区

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<string>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<stack>
#include <map>
#include <iomanip>

#define bug cout << "**********" << endl
#define show(x, y) cout<<"["<<x<<","<<y<<"] "
#define LOCAL = 1;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll mod = 1e9 + ;
const int Max = 1e4 + ;
const int Max2 = 3e2+ ;

struct Edge         //构建的残余网络
{
    int to, flow, next;
} edge[Max << ];

struct Edge2        //原图结点之间的关系
{
    int to, dis;
};

int k, c, m, s, t;
vector<Edge2> edge_raw[Max2];
int dist[Max2][Max2];       //奶牛和机器的最近距离
bool vis[Max2];

int head[Max2], tot;
int dis[Max2], cur[Max2];

void init()
{
    memset(dist, inf, sizeof(dist));
    for (int i = ; i < Max2; i++)
        edge_raw[i].clear();
}

void add(int u, int v, int flow)
{
    edge[tot].to = v;
    edge[tot].flow = flow;
    edge[tot].next = head[u];
    head[u] = tot++;
}

void dijkstra(int start)
{
    memset(vis, , sizeof(vis));
    priority_queue<pair<int, int> > q;
    dist[start][start] = ;
    q.push(make_pair(, start));
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.top().second;
        q.pop();
        if (vis[u])
            continue;
        vis[u] = true;
        for (vector<Edge2>::iterator it = edge_raw[u].begin(); it != edge_raw[u].end(); ++it)
        {
            if (!vis[it->to] && dist[start][it->to] > dist[start][u] + it->dis)
            {
                dist[start][it->to] = dist[start][u] + it->dis;
                q.push(make_pair(-dist[start][it->to], it->to));
            }
        }
    }
}

bool bfs() //判断图是否连通
{
    queue<int> q;
    memset(dis, -, sizeof(dis));
    dis[s] = ;
    q.push(s);
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int i = head[u]; i != -; i = edge[i].next)
        {
            int v = edge[i].to;
            if (dis[v] == - && edge[i].flow > )       //可以借助边i到达新的结点
            {
                dis[v] = dis[u] + ;                    //求顶点到源点的距离编号
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return dis[t] != -;                                //确认是否连通
}

int dfs(int u, int flow_in)
{
    if (u == t)
        return flow_in;
    int flow_out = ;                                    //记录这一点实际流出的流量
    for (int i = cur[u]; i != -; i = edge[i].next)
    {
        cur[u] = i;
        int v = edge[i].to;
        if (dis[v] == dis[u] +  && edge[i].flow > )
        {
            int flow_part = dfs(v, min(flow_in, edge[i].flow));
            if (flow_part == )
                continue;                               //无法形成增广路
            flow_in -= flow_part;                       //流出了一部分，剩余可分配流入就减少了
            flow_out += flow_part;                      //记录这一点最大的流出

            edge[i].flow -= flow_part;
            edge[i ^ ].flow += flow_part;              //减少增广路上边的容量，增加其反向边的容量
            if (flow_in == )
                break;
        }
    }
    return flow_out;
}

int Dinic(int ans)
{
    int sum = ;
    while (bfs())
    {
        for (int i = ; i <= ans; i++)
            cur[i] = head[i];
        sum += dfs(s, inf);
    }
    return sum;
}

int main()
{
#ifdef LOCAL
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    //freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    while (scanf("%d%d%d", &k, &c, &m) != EOF)
    {
        init();
        for (int i = ; i <= k + c; i++)
        {
            for (int j = , way; j <= k + c; j++)
            {
                scanf("%d", &way);
                if (way)
                {
                    Edge2 e;
                    e.to = j;
                    e.dis = way;
                    edge_raw[i].push_back(e);
                    e.to = i;
                    edge_raw[j].push_back(e);       //POJ不是C14以上的语言，所以只能写的麻烦一些了
                }
            }
        }
        for (int i = k + ; i <= k + c; i++)        //求每个奶牛和所有挤奶器的最短距离
        {
            dijkstra(i);
        }

        int l = , r = Max, len = ;                //二分答案
        s = k + c + , t = ;                       //源点，汇点
        while (l <= r)
        {
            memset(head, -, sizeof(head));
            tot = ;
            int mid = (l + r) >> ;
            for (int i = k + ; i <= k + c; i++)
            {
                for (int j = ; j <= k; j++)
                {
                    if (dist[i][j] <= mid)          //根据限制的最远距离，选取奶牛可以到达的挤奶器建边
                    {
                        add(i, j, inf);
                        add(j, i, );
                    }
                }
                add(s, i, );
                add(i, s, );                  //由源点到每头奶牛的边容量均为1
            }
            for (int i = ; i <= k; i++)
            {
                add(i, t, m);
                add(t, i, );                  //由机器到汇点的边容量为机器最大接纳奶牛数
            }

            int max_flow = Dinic(k + c + );
            if (max_flow == c)                       //满足要求，进一步缩小最远距离
            {
                r = mid - ;
                len = mid;
            }
            else
            {
                l = mid + ;
            }
        }
        printf("%d\n", len);
    }
    return ;
}