CF1194D 1-2-K Game (博弈论)

CF1194D 1-2-K Game

一道简单的博弈论题

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首先让我们考虑没有k的情况：

1. (n mod 3 =0)

因为n可以被分解成若干个3相加

而每个3可以被分解为1+2或2+1

所以无论A出什么B都有方法应对

B胜

2. (n mod 3 =1)

A可以先选择余数1

这样问题又回到了第一种情况

AB角色互换

A胜

3. (n mod 3 =2)

与2同理，A先选2即胜

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而现在多出来的这个k也可以看成是3的某个自然数倍数加上一个小于3的数

即\(k\equiv x\left( mod3\right)\)

我们再来对x分类讨论：

1. (x=0)

此时的k就好像快速地切除1+2或2+1的回合

但对手总不会站着不动吧？

我们知道B总是有方法使每一回合内(A+B)%3都等于1的

列举一下(k用3代替)：

A:1 B:3

A:2 B:2

A:3 B:1

是不是每回合在mod3意义下都是相同的？

那么若干个回合后如果无法实现上述方法了

即n%=k+1

如果n=k A获胜

否则情况又变回了无k的情况

%3判断即可

2. (x=1)

此时k就好像有着能省略若干个回合功能的1

k就可有可无了

又回到了无k的情况

3. (x=2)

与2同理

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知道了这些，代码就很好写了：

int n,k,t;
signed main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d",&n,&k);
		if(k%3){
			if(n%3) puts("Alice");
			else puts("Bob");
		}
		else{
			n%=k+1;
			if(n==k||n%3) puts("Alice");
			else puts("Bob");
		}
	}
}