P2671 [NOIP2015 普及组] 求和

[NOIP2015 普及组] 求和

题目背景

NOIP2015 普及组 T3

题目描述

一条狭长的纸带被均匀划分出了\(n\)个格子，格子编号从\(1\)到\(n\)。每个格子上都染了一种颜色\(color_i\)用\([1,m]\)当中的一个整数表示），并且写了一个数字\(number_i\)。

定义一种特殊的三元组：\((x,y,z)\)，其中\(x,y,z\)都代表纸带上格子的编号，这里的三元组要求满足以下两个条件：

1. \(xyz\)是整数,\(x<y<z,y-x=z-y\)

2. \(colorx=colorz\)

满足上述条件的三元组的分数规定为\((x+z) \times (number_x+number_z)\)。整个纸带的分数规定为所有满足条件的三元组的分数的和。这个分数可能会很大，你只要输出整个纸带的分数除以\(10,007\)所得的余数即可。

输入格式

第一行是用一个空格隔开的两个正整数\(n\)和\(m,n\)表纸带上格子的个数，\(m\)表纸带上颜色的种类数。

第二行有\(n\)用空格隔开的正整数，第\(i\)数字\(number\)表纸带上编号为\(i\)格子上面写的数字。

第三行有\(n\)用空格隔开的正整数，第\(i\)数字\(color\)表纸带上编号为\(i\)格子染的颜色。

输出格式

一个整数，表示所求的纸带分数除以\(10007\)所得的余数。

样例 #1

样例输入 #1

6 2
5 5 3 2 2 2
2 2 1 1 2 1

样例输出 #1

82

样例 #2

样例输入 #2

15 4
5 10 8 2 2 2 9 9 7 7 5 6 4 2 4
2 2 3 3 4 3 3 2 4 4 4 4 1 1 1

样例输出 #2

1388

提示

【输入输出样例 1 说明】

纸带如题目描述中的图所示。

所有满足条件的三元组为： \((1, 3, 5), (4, 5, 6)\)。

所以纸带的分数为\((1 + 5) \times (5 + 2) + (4 + 6) \times (2 + 2) = 42 + 40 = 82\)。

对于第 \(1\) 组至第 \(2\) 组数据， \(1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 5\)；

对于第$ 3$ 组至第 \(4\) 组数据， \(1 ≤ n ≤ 3000, 1 ≤ m ≤ 100\)；

对于第 \(5\) 组至第$ 6 $组数据， \(1 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ m ≤ 100000\)，且不存在出现次数超过$ 20 $的颜色；

对 于 全 部 \(10\) 组 数 据 ， \(1 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ m ≤ 100000, 1 ≤ color_i ≤ m,1≤number_i≤100000\)

思路

一开始想到\(O(n^2)\)的算法。

\(\because y-x=z-\)

\(\therefore x + z=2\times y\)

所以暴力枚举\(x,z\)就好了。但是肯定会\(TLE\)。

我们把所有数按颜色分成\(m\)组，然后为了枚举下标再开两个位置来判断下标的奇偶性（因为前面\(x+z=2\times y\)，所以\(x,z\)奇偶性相同）。

假设一组里的数分别是\(x_1,x_2,\cdots,x_k\)，下标是\(y_1,y_2,\cdots,y_k\)

那么答案\(=(x_1 + x_2) \times (y_1 + y_2) + (x_1 + x_3) \times (y_1 + y_3)+\dots\)

\(~~~~~~~~~~~~~=x_1\times(y_1 + y_2 + y_1 + y _ 3 + \cdots + y_1 + y_k) + x_2\times(y_2 + y_1 + y_2 + y _ 3 + \cdots + y_2 + y_k) + \cdots + x_k\times(y_k + y_1 + y_k + y _ 2 + \cdots + y_k + y_{k-1})\)

\(~~~~~~~~~~~~~=x_1\times(y_1 \times (k - 2) + \sum\limits_{i=1}^k{y_i}) + x_2\times(y_2 \times (k - 2) + \sum\limits_{i=1}^k{y_i}) + \cdots + x_k\times(y_k \times (k - 2) + \sum\limits_{i=1}^k{y_i})\)

这里每一个式子里都有\(\sum\limits_{i=1}^k{y_i})\)，所以我们可以提前与处理一下，加快速度。

我们可以枚举所有数，第\(i\)数都加上\(x_i\times(y_i \times (k - 2) + \sum\limits_{i=1}^k{y_i})\)即可，最后全部加上模上\(10007\)即可

可以依据代码来理解，我觉得挺有必要。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010,MOD = 10007;
int n,m;
int a[N],color[N];
int s[N][2],sum[N][2];
int main () {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
	for (int i = 1;i <= n;i++) {
		cin >> color[i];
		s[color[i]][i % 2]++;
		sum[color[i]][i % 2] = (sum[color[i]][i % 2] + i) % MOD;
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1;i <= n;i++) ans = (ans + a[i] * (i * (s[color[i]][i % 2] - 2) % MOD + sum[color[i]][i % 2]) % MOD) % MOD;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}