Tarjan强连通分量(scc)

概念解释

节点强连通：$v_i$与$v_j$($v_i ≠ v_j$)强连通是指从$vi$到$vj$和从$vj$到$vi$都存在路径，即两节点互相可达
强连通图：在有向图$G$中，对于每一对$v_i、v_j$，$v_i ≠ v_j$，从$v_i$到$v_j$和从$v_j$到$v_i$都存在路径，则称G是强连通图。即任意两个节点强连通的有向图
强连通分量：有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。对于“极大”一词，我的理解是如果有向图中某部分是强连通的，再加入其它任何节点都将使得该部分变为非强连通，则此部分为原图的一个极大强连通子图

算法作用

可以将有向有环图转化为有向无环图(拓扑图-DAG图)。使得原始图具有拓扑图的种种性质，例如在拓扑图中使用递推可以在线性时间内解决一些最短路(最长路问题)

算法思想

缩点：Tarjan将有环图转化为无环图就是将每一个$scc$看作一个点，即所谓的缩点。但缩点并非特意需要代码实现，只是一种概念上的存在，原图在存在形式上仍为一个个独立的点，但我们可以根据不同点的$scc_id$值，人为将这些点进行分类，从而将具有相同属性的点划分为一个集合，即实现了缩点操作。

进行一次Tarjan要达成的目标是：1.确定图上任意一点所属的scc编号 2.确定每个scc包含节点的个数

Tarjan求解强连通分量采用了$DFS$的搜索顺序，搜索到每一个点时都有一个时间，采用$dfn[i]$表示搜索到节点$i$时的时间

在一个$scc$中，一定有一个$dfn$最小的点，即最先被搜素到的点，该$scc$中除该点以外的点通过环路可以走到的最小$dfn$编号记为$low[i]$

Tarjan求scc的过程因为使用栈，存在递归和回溯，所以较难说清它的思考流程，只能是参照代码，理解其中各个数组的含义，学会使用即可。

Tarjan求解强连通分量主要依托的就是以上两个标记数组。我们思考在图的搜索过程中，如何判断出现了环路。在DFS的搜索过程中，每当我们搜索到一点，就会将该点入栈保存现场进行递归搜索其子节点，如果我们在搜索过程中遇到了一个栈中的节点，此时就形成了一个环路。使用栈仅能够判断是否存在环路，无法达成目标，$dfn$和$low$的作用是标记一个节点被搜索到的顺序和它在scc中实际能走到的点的最小编号，如果搜索节点b的相邻节点时，遇到了栈中的节点a，一定满足$dfn[a] < dfn[b]$，low[b]也应当由dfn[b]更新为dfn[a]，这类节点满足$dfn != low$。如果某个节点c的$dfn == low$，说明从它不能走到编号更小的节点了，即它就是一个scc中编号最小的节点，同属于该scc的节点因为不满足$dfn == low$，所以都仍处于栈中，此时开始弹栈直到将c弹出，这些弹出的即为同一个scc中的节点，弹出时标记其所属scc编号和累加对应scc节点个数计数器即可

$DFS$搜索需要用到栈$stk$

$in_stk[i]$用来标记点$i$当前是否处于栈中

$Size[i]$用来记录编号为$i$的$scc$中点的数量

语言描述起来有些混乱，B站有个讲的不错的视频见下

代码实现

代码中else if (in_stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);，为什么用$dfn[j]$而非$low[j]$还尚不清楚，在Tarjan's SCC : example showing necessity of lowlink definition and calculation rule?中给出的理由是使用$low[j]$就会破坏了$low$数组的含义，但我觉得恰恰相反，所以这个问题待定

void tarjan(int u)

{

    dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;

    stk.push(u), in_stk[u] = true;

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])

    {

        int j = e[i];

        if (!dfn[j])

        {

            tarjan(j);

            low[u] = min(low[j], low[u]);

        }

        else if (in_stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);

    }

    if (dfn[u] == low[u])

    {

        do {

            int t = stk.top(); stk.pop();

            id[t] = scc_cnt;

            in_stk[t] = false;

            ++ Size[scc_cnt];

        } while (t != u);

        // ++ scc_cnt;

        // int t = stk.top(); stk.pop();

        // id[t] = scc_cnt;

        // in_stk[t] = false;

        // ++ Size[scc_cnt];

        // while (t != u)

        // {

        //     t = stk.top(); stk.pop();

        //     id[t] = scc_cnt;

        //     in_stk[t] = false;

        //     ++ Size[scc_cnt];

        // }

    }

}