【LOJ】#6433. 「PKUSC2018」最大前缀和

题解

神仙的状压啊QAQ

设一个\(f[S]\)表示数字的集合为\(S\)时\(sum[S]\)为前缀最大值的方案数

\(g[S]\)表示数字集合为\(S\)时所有前缀和都小于等于0的方案数

答案就是\(sum_{S} sum[S] * f[S] * g[2^{N} - 1 - S]\)

求\(f\)每次相当于往前面插入一个数，如果\(sum[S] > 0\)就更新

\(f[S \^ (1 << i - 1)] += f[S] (sum[S] > 0)\)

求\(g\)只要每次看看更新的集合总和是不是合法就行了

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define pdi pair<db,int>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
#define eps 1e-8
#define mo 974711
#define MAXN 100005
//#define ivorysi
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 + c - '0';
	c = getchar();
    }
    res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
    if(x >= 10) {
	out(x / 10);
    }
    putchar('0' + x % 10);
}
const int MOD = 998244353;
int N;
int A[25],sum[(1 << 20) + 5],pos[(1 << 20) + 5],f[(1 << 20) + 5],g[(1 << 20) + 5],ans;
int inc(int a,int b) {
    return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;
}
int mul(int a,int b) {
    return 1LL * a * b % MOD;
}
int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}
void update(int &x,int y) {
    x = inc(x,y);
}
void Solve() {
    read(N);
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) read(A[i]);
    for(int i = 0 ; i < N ; ++i) pos[1 << i] = i + 1;
    for(int S = 1 ; S < (1 << N) ; ++S) {
	sum[S] = sum[S ^ lowbit(S)] + A[pos[lowbit(S)]];
    }
    g[0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
	f[1 << i - 1] = 1;
    }
    for(int S = 1 ; S < (1 << N) ; ++S) {
	if(sum[S] > 0) {
	    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
		if(!(S >> (i - 1) & 1)) {
		    update(f[S ^ (1 << i - 1)],f[S]);
		}
	    }
	}
	else {
	    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
		if(S >> (i - 1) & 1) {
		    update(g[S],g[S ^ (1 << i - 1)]);
		}
	    }
	}
    }
    for(int S = 1 ; S < (1 << N) ; ++S) {
	int t = mul(f[S],g[(1 << N) - 1 - S]);
	t = mul(t,inc(MOD,sum[S]));
	update(ans,t);
    }
    out(ans);enter;
}
int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    Solve();
}