C-整数划分

将正整数 n 表示成一系列正整数之和， n=n1+n2+…+nk, 其中 n1>=n2>=…>=nk>=1 ， k>=1 。 
正整数 n 的这种表示称为正整数 n 的划分。正整数 n 的不同的划分个数称为正整数 n 的划分数，记作 p(n) 。 
例如正整数 6 有如下 11 种不同的划分，所以 p(6)=11 。 
6;
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1.

在正整数 n 所有不同的划分中，将最大加数 n1 不大于 m 的划分个数记作 q(n,m) ，称它为属于 n 的一个 m 划分。根据 n 和 m 的关系，考虑以下几种情况：

(1)当 n=1 时，不论 m 的值为多少（ m>0) ，只有一种划分即 {1};   例如上述p(1,1) = 1.全部由1组成。

(2)  当 m=1 时，不论 n 的值为多少，只有一种划分即 n 个 1 ; p(6,1)= {1,1,1,...,1} = 1;

(3)  当 n=m 时，根据划分中是否包含 n ，可以分为两种情况：

(a). 划分中包含 n 的情况，只有一个即 {n} ；

(b). 划分中不包含 n 的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 (n-1) 划分。

　　　　　　也就是说，q(n,n)代表最大的加数不大于n；

　　　　　　　　　　　　q(n,n-1) 代表最大加数不大于n-1;

　　　　　　　　　　　　1 代表 最大加数为n

 因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);

   (4) 当 n<m 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 q(n,n) =q（n,m) ,(m>n>1);

(5) 但 n>m 时，根据划分中是否包含最大值 m ，可以分为两种情况：

❤(a). 划分中包含 m 的情况，即 {m, {x1,x2,...xi}}, 其中 {x1,x2,... xi}  的和为 n-m ，可能再次出现 m ，因此是（ n-m ）的 m 划分，因此这种划分个数为 q(n-m, m);包括m的总数就是{x1,x2,... xi} 最大加数不大于m的总数(现在已经有一个m了，从剩下的{x1,x2,... xi}找到不大于m的总数就行)。

(b). 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 (m-1) 划分，也就是最大数不大于m-1的个数，个数为 q(n,m-1);

  因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);

　　　　　　p(n,m) = {  1,                       m= 1;

　　　　　　　　　　　|  p(n,n)                  m>n;

　　　　　　　　　　　|  1+p(n,m-1)          n=m;

{   p(n,m-1) +p(n-m,m); n>m>1

int p(int n,int m)

{

　　if(m=1) return 1;

　　if(m>n) return p(n,n);

　　if(m==n) return p(n,m-1)+1;

　　return p(n,m-1)+p(n-m,m);

}