BZOJ3129/洛谷P3301方程（SDOI2013）容斥原理+扩展Lucas定理

题意：给定方程x1+x2+....xn=m,每个x是正整数。但是对前n1个数做了限制x1<=a1,x2<=a2...xn1<=an1，同时对第n1+1到n1+n2个数也做了限制xn1+1>=an1+1....xn1+n2>=an1+n2，输出方程解个数。

解法：首先如果对数字没有任何要求(应该是只要求是非负数)的话，答案就是C(n+m+1,m+1)原理是隔板法。但是此题有各种限制，我们想办法解决限制使得答案往无限制上面靠。

首先是解决要正整数，那么每个数字减一即可，就是m-=n。

然后对于n1+1到n1+n2的限制，大于等于的限制也简单，也是xi>=ai的话就使xi-=ai即可。

好了到最麻烦的xi<=ai限制，这个限制我们没办法通过数字处理来解决。但是我们观察到这些限制个数小于等于8个，自然会想到容斥原理。

那么容斥原理常规套路，无限制-至少一个突破限制(也就是xi>ai为突破限制)方案数+至少两个数字突破限制.........

ok，解题思路就是上面这些。但是这题比较麻烦的在于：要计算的组合数非常大且模数不为质数！！！那么Lucas定理也不管用了，我们只能用到exLucas定理。

推荐看这篇博客：https://www.cnblogs.com/candy99/p/6637629.html

直接套上大佬的exLucas会TLE，有一些地方需要优化，①Lucas函数内每次都要找MOD的因子太慢了，先预处理出来。②Fac函数内每次暴力计算阶乘太慢了，需要在调用Fac之前即C函数处先预处理阶乘。

此题代码（注释的是修改大佬模板地方，加上优化）：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=1e5+;
 ll n,m,n1,n2,MOD,a[N];
 ll tot=,f[N],c[N];

 ll fac[N];
 void Initfac(ll p,ll pr) {  //预处理阶乘
     fac[]=;
     for(ll i=;i<=pr;i++)
         if(i%p) fac[i]=fac[i-]*i%pr;
         else fac[i]=fac[i-];
 }

 ll Pow(ll a,ll b,ll P){
     ll ans=;
     for(;b;b>>=,a=a*a%P)
         if(b&) ans=ans*a%P;
     return ans;
 }
 void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
     if(b==) d=a,x=,y=;
     else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
 }
 ll Inv(ll a,ll n){
     ll d,x,y;
     exgcd(a,n,d,x,y);
     return d==?(x+n)%n:-;
 }
 ll Fac(ll n,ll p,ll pr){
     if(n==) return ;
     ll re=;
     //for(ll i=2;i<=pr;i++) if(i%p) re=re*i%pr;
     re=fac[pr];
     re=Pow(re,n/pr,pr);
     ll r=n%pr;
     //for(int i=2;i<=r;i++) if(i%p) re=re*i%pr;
     re=re*fac[r]%pr;
     return re*Fac(n/p,p,pr)%pr;
 }
 ll C(ll n,ll m,ll p,ll pr){
     if(n<m) return ;
     Initfac(p,pr);  //预处理阶乘
     ll x=Fac(n,p,pr),y=Fac(m,p,pr),z=Fac(n-m,p,pr);
     ll c=;
     for(ll i=n;i;i/=p) c+=i/p;
     for(ll i=m;i;i/=p) c-=i/p;
     for(ll i=n-m;i;i/=p) c-=i/p;
     ll a=x*Inv(y,pr)%pr*Inv(z,pr)%pr*Pow(p,c,pr)%pr;
     return a*(MOD/pr)%MOD*Inv(MOD/pr,pr)%MOD;
 }
 ll Lucas(ll n,ll m){   //exLucas
     ll x=MOD,re=;
 //    for(ll i=2;i<=MOD;i++) if(x%i==0){
 //        ll pr=1;
 //        while(x%i==0) x/=i,pr*=i;
 //        re=(re+C(n,m,i,pr))%MOD;
 //    }
     for (int i=;i<=tot;i++) re=(re+C(n,m,f[i],c[i]))%MOD;
     return re;
 }

 void prework(ll n) {
     ll t=n;
     for (int i=;(ll)i*i<=n;i++) {
         if (t%i==) {
             tot++; f[tot]=i; c[tot]=;
             while (t%i==) t/=i,c[tot]*=i;
         }
     }
     if (t>) f[++tot]=t,c[tot]=t;
 }

 int main()
 {
     int T; scanf("%d%lld",&T,&MOD);
     prework(MOD);
     while(T--) {
         scanf("%lld%d%d%lld",&n,&n1,&n2,&m);
         for(int i=;i<=n1+n2;i++) scanf("%lld",&a[i]);
         for(int i=;i<=n2;i++) m-=a[n1+i]-;
         m-=n;

         ll ans=;
         for(int i=;i<(<<n1);i++) {
             int tot=;
             ll x=m;
             for(int j=;j<n1;j++)
                 if (i&(<<j)) { tot++; x-=a[j+]; }
             if (tot%) ans=(ans-Lucas(x+n-,n-)+MOD)%MOD;
             else ans=(ans+Lucas(x+n-,n-))%MOD;
         }
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }

记录下大佬的exLucas定理模板：

 ll Pow(ll a,ll b,ll P){
     ll ans=;
     for(;b;b>>=,a=a*a%P)
         if(b&) ans=ans*a%P;
     return ans;
 }
 void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
     if(b==) d=a,x=,y=;
     else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
 }
 ll Inv(ll a,ll n){
     ll d,x,y;
     exgcd(a,n,d,x,y);
     return d==?(x+n)%n:-;
 }
 ll Fac(ll n,ll p,ll pr){
     if(n==) return ;
     ll re=;
     for(ll i=;i<=pr;i++) if(i%p) re=re*i%pr;
     re=Pow(re,n/pr,pr);
     ll r=n%pr;
     for(int i=;i<=r;i++) if(i%p) re=re*i%pr;
     return re*Fac(n/p,p,pr)%pr;
 }
 ll C(ll n,ll m,ll p,ll pr){
     if(n<m) return ;
     ll x=Fac(n,p,pr),y=Fac(m,p,pr),z=Fac(n-m,p,pr);
     ll c=;
     for(ll i=n;i;i/=p) c+=i/p;
     for(ll i=m;i;i/=p) c-=i/p;
     for(ll i=n-m;i;i/=p) c-=i/p;
     ll a=x*Inv(y,pr)%pr*Inv(z,pr)%pr*Pow(p,c,pr)%pr;
     return a*(MOD/pr)%MOD*Inv(MOD/pr,pr)%MOD;
 }
 ll Lucas(ll n,ll m){
     ll x=MOD,re=;
     for(ll i=;i<=MOD;i++) if(x%i==){
         ll pr=;
         while(x%i==) x/=i,pr*=i;
         re=(re+C(n,m,i,pr))%MOD;
     }
     return re;
 }