[BZOJ5339] [TJOI2018]教科书般的亵渎

题目链接

BZOJ题面。

洛谷题面。

Solution

随便推一推，可以发现瓶颈在求\(\sum_{i=1}^n i^k\)，关于这个可以看看拉格朗日插值法。

复杂度\(O(Tm^2)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

const int maxn = 100;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;

int qpow(int a,int x) {
	int res=1;a%=mod;
	for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(x&1) res=1ll*res*a%mod;
	return res;
}

int m,a[maxn],pw[maxn],pre[maxn],suf[maxn],fac[maxn],ifac[maxn];

int calc(int n,int k) {
	k++;suf[k+1]=fac[0]=ifac[0]=1;pre[0]=n%mod;
	for(int i=1;i<=k;i++) pre[i]=pre[i-1]*((n-i)%mod)%mod;
	for(	for(int i=1;i<=k;i++) pre[i]=pre[i-1]*((n-i)%mod)%mod;
	for(int i=k;~i;i--) suf[i]=suf[i+1]*((n-i)%mod)%mod;
	int i=k;~i;i--) suf[i]=suf[i+1]*((n-i)%mod)%mod;
	for(int i=1;i<=k;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	ifac[k]=qpow(fac[k],mod-2);
	for(int i=k-1;i;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=k;i++) ans=(ans+(((k-i)&1)?-1:1)*pw[i]*pre[i-1]%mod*suf[i+1]%mod*ifac[i]%mod*ifac[k-i]%mod);
	return ans;
}

void solve() {
	int N,n;read(N),read(m);for(int i=1;i<=m;i++) read(a[i]);n=N;
	for(int i=1;i<=m+3;i++) pw[i]=(qpow(i,m+1)+pw[i-1])%mod;
	int ans=0;sort(a+1,a+m+1);
	for(int i=0;i<=m;i++) {
		ans+=calc(n-a[i],m+1);
		for(int j=i;j<=m;j++) ans=(ans-qpow(a[j]-a[i],m+1))%mod;
	}write((ans+mod)%mod);
}

signed main() {
	int t;read(t);
	while(t--) solve();
	return 0;
}