洛谷 P6177 - Count on a tree II/【模板】树分块（树分块）

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好家伙，在做这道题之前我甚至不知道有个东西叫树分块

树分块，说白了就是像对序列分块一样设一个阈值 \(B\)，然后在树上随机撒 \(\dfrac{n}{B}\) 个关键点，满足任意一个点到距离其最近的关键点距离不超过 \(\mathcal O(B)\) 级别，这样我们就可以预处理关键点两两之间的信息，然后询问两个点路径上的信息时直接将预处理的信息拿出来使用，再额外加上两个端点到距离它们最近的关键点之间的路径的贡献即可算出答案，复杂度 \(\mathcal O(B^2+qB+\dfrac{n^2}{B})\)，一般 \(B\) 取 \(\sqrt{n}\)

当然这个“随机撒点”也并不用什么高超的玄学技巧，甚至不用随机（）。一个很显然的想法是将深度 \(\bmod B=0\) 设为关键点，但稍微懂点脑子即可构造出反例：一条长度为 \(B\) 的链下面挂 \(n-B\) 个叶子。因此考虑对上面的过程做点手脚，我们记 \(dis_i\) 为 \(i\) 到距离它最近的叶子节点的距离（学过左偏树的同学应该对这个定义感到很熟悉），那么我们将深度 \(\bmod B=0\) 且 \(dis_i\ge B\) 的点 \(i\) 设为关键节点即可，容易证明在这种构造方法下关键点个数是严格 \(\dfrac{n}{B}\) 级别的，读者自证不难，复杂度也就得到了保证。

接下来考虑怎样求出答案，我们首先预处理出每堆关键节点路径上颜色的情况，用 bitset 维护，该操作显然可以以 \(\mathcal O(\dfrac{n^2}{B})\) 的及 \(\mathcal O(\dfrac{n^3}{B^2\omega})\) 空间复杂度完成。那么对于一组询问 \(x,y\)，记 \(x\) 祖先中离其最近的关键点为 \(fx\)，\(fy\) 的定义类似，\(l=\text{LCA}(x,y)\)，分三种情况：

• \(fx,fy\) 的深度均 \(<l\) 的深度，根据关键点的生成方式可知任意一条自上而下的长度为 \(2B\)（注意，这里不是 \(B\)，因为对于叶子节点而言，其祖先中离其最近的关键节点与其的距离可能达到 \(2B\)）的链上必有一个关键节点，因此 \(x\) 到 \(l\) 的距离必定小于 \(2B\)，\(y\) 同理，对于这种情况暴力跳父亲不会出问题
• \(fx,fy\) 中恰有一个深度 \(<l\) 的深度，那我们不妨设 \(fy\) 深度 \(<l\) 的深度，那么我们就找出 \(x\to l\) 这条链上离 \(l\) 最近的关键点 \(z\)，具体方法是，我们倍增找出 \(x\) 的 \(dep_x-dep_l-2B\) 级祖先，然后暴力向上跳，每遇到一个关键点就将 \(z\) 设为关键节点，那么我们根据预处理的值找到 \(z\) 与 \(fx\) 之间的答案，然后加上 \(x\to fx,z\to l,y\to l\) 这三段的答案即可
• \(fx,fy\) 深度均 \(\ge l\) 的深度，那么我们直接找出 \(fx,fy\) 之间的答案，然后加上 \(x\to fx,y\to fy\) 的答案即可。

时间复杂度 \(\mathcal O(\dfrac{n^2}{B}+qB+\dfrac{n^3}{B^2\omega})=\mathcal O(n\sqrt{n}+\dfrac{n^2}{\omega})\)，常数略有点大，但实际跑起来不算慢（

const int MAXN=4e4;
const int LOG_N=16;
const int BLK=200;
int n,qu,a[MAXN+5],key[MAXN+5],uni[MAXN+5],num=0;
int hd[MAXN+5],to[MAXN*2+5],nxt[MAXN*2+5],ec=0;
void adde(int u,int v){to[++ec]=v;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
int id[MAXN+5],pcnt=0,blk,buc[MAXN+5];
int dis[MAXN+5],dep[MAXN+5],fa[MAXN+5][LOG_N+2];
bitset<MAXN+5> col[21000],vis;
void dfs0(int x,int f){
	fa[x][0]=f;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(y==f) continue;dep[y]=dep[x]+1;
		dfs0(y,x);chkmax(dis[x],dis[y]+1);
	} if(dep[x]%blk==0&&dis[x]>=blk) id[x]=++pcnt;
}
int qwq[BLK+5][BLK+5],cc=0;
void dfs(int x,int f,int rt){
	buc[a[x]]++;if(buc[a[x]]==1) vis.set(a[x]);
	if(id[x]) col[qwq[id[rt]][id[x]]]=vis;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(y==f) continue;
		dfs(y,x,rt);
	} buc[a[x]]--;if(!buc[a[x]]) vis.reset(a[x]);
}
int getlca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=LOG_N;~i;i--) if(dep[x]-(1<<i)>=dep[y]) x=fa[x][i];
	if(x==y) return x;
	for(int i=LOG_N;~i;i--) if(fa[x][i]^fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
int jump(int x){
	while(x){
		if(id[x]) return x;
		x=fa[x][0];
	} return 0;
}
int get_kanc(int x,int k){
	for(int i=LOG_N;~i;i--) if(k>>i&1) x=fa[x][i];
	return x;
}
int main(){
//	freopen("C:\\Users\\汤\\Downloads\\P6177_1.in","r",stdin);
//	cout<<sizeof(col)<<endl;
	scanf("%d%d",&n,&qu);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),key[i]=a[i];
	key[0]=-1;sort(key+1,key+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) if(key[i]^key[i-1]) uni[++num]=key[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(uni+1,uni+num+1,a[i])-uni;
	for(int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),adde(u,v),adde(v,u);
	blk=(int)sqrt(n);dfs0(1,0);dep[0]=-1;
	for(int i=1;i<=pcnt;i++) for(int j=1;j<=i;j++) qwq[i][j]=qwq[j][i]=++cc;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(id[i]) memset(buc,0,sizeof(buc)),dfs(i,0,i);
	for(int i=1;i<=LOG_N;i++) for(int j=1;j<=n;j++)
		fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
	int pre=0;
	while(qu--){
		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);x^=pre;vis.reset();
		int l=getlca(x,y),fx=jump(x),fy=jump(y);
		if(dep[fx]<dep[l]&&dep[fy]<dep[l]){
			while(x!=l) vis.set(a[x]),x=fa[x][0];
			while(y!=l) vis.set(a[y]),y=fa[y][0];
			vis.set(a[l]);
			printf("%d\n",pre=vis.count());
		} else if(dep[fx]>=dep[l]&&dep[fy]>=dep[l]){
			vis=col[qwq[id[fx]][id[fy]]];
			while(x!=fx) vis.set(a[x]),x=fa[x][0];
			while(y!=fy) vis.set(a[y]),y=fa[y][0];
			printf("%d\n",pre=vis.count());
		} else{
			if(dep[fy]>=dep[l]) swap(x,y),swap(fx,fy);
			assert(dep[fy]<dep[l]);
			int z=get_kanc(x,max(dep[x]-dep[l]-(blk<<1|1),0));
			int near=-1;
			while(z!=l){
				if(id[z]) near=z;
				z=fa[z][0];
			} if(id[l]) near=l;
			assert(~near);
			if(fx!=near) vis=col[qwq[id[fx]][id[near]]];
			while(x!=fx) vis.set(a[x]),x=fa[x][0];
			while(near!=l) vis.set(a[near]),near=fa[near][0];
			while(y!=l) vis.set(a[y]),y=fa[y][0];
			vis.set(a[l]);
			printf("%d\n",pre=vis.count());
		}
	}
	return 0;
}