NC20115 [HNOI2015]菜肴制作

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题目

题目描述

知名美食家小 A被邀请至ATM 大酒店，为其品评菜肴。 ATM 酒店为小 A 准备了 N 道菜肴，酒店按照为菜肴预估的质量从高到低给予1到N的顺序编号，预估质量最高的菜肴编号为1。

由于菜肴之间口味搭配的问题，某些菜肴必须在另一些菜肴之前制作，具体的，一共有 M 条形如”i 号菜肴'必须'先于 j 号菜肴制作“的限制，我们将这样的限制简写为<i,j>。

现在，酒店希望能求出一个最优的菜肴的制作顺序，使得小 A能尽量先吃到质量高的菜肴：

也就是说，

(1)在满足所有限制的前提下，1 号菜肴”尽量“优先制作；

(2)在满足所有限制，1号菜肴”尽量“优先制作的前提下，2号菜肴”尽量“优先制作；

(3)在满足所有限制，1号和2号菜肴”尽量“优先的前提下，3号菜肴”尽量“优先制作；

(4)在满足所有限制，1 号和 2 号和 3 号菜肴”尽量“优先的前提下，4 号菜肴”尽量“优先制作；

(5)以此类推。

例1：共4 道菜肴，两条限制<3,1>、<4,1>，那么制作顺序是 3,4,1,2。

例2：共5道菜肴，两条限制<5,2>、 <4,3>，那么制作顺序是 1,5,2,4,3。

例1里，首先考虑 1，因为有限制<3,1>和<4,1>，所以只有制作完 3 和 4 后才能制作 1，而根据(3)，3 号又应”尽量“比 4 号优先，所以当前可确定前三道菜的制作顺序是 3,4,1；接下来考虑2，确定最终的制作顺序是 3,4,1,2。

例2里，首先制作 1是不违背限制的；接下来考虑 2 时有<5,2>的限制，所以接下来先制作 5 再制作 2；接下来考虑 3 时有<4,3>的限制，所以接下来先制作 4再制作 3，从而最终的顺序是 1,5,2,4,3。 现在你需要求出这个最优的菜肴制作顺序。无解输出”Impossible!“ （不含引号，首字母大写，其余字母小写）

输入描述

第一行是一个正整数D，表示数据组数。

接下来是D组数据。

对于每组数据：

第一行两个用空格分开的正整数N和M，分别表示菜肴数目和制作顺序限制的条目数。

接下来M行，每行两个正整数x,y，表示“x号菜肴必须先于y号菜肴制作的限制。（注意：M条限制中可能存在完全相同的限制）

输出描述

输出文件仅包含 D 行，每行 N 个整数，表示最优的菜肴制作顺序，或者”Impossible!”表示无解（不含引号）。

示例1

输入

3
5 4
5 4
5 3
4 2
3 2
3 3
1 2
2 3
3 1
5 2
5 2
4 3

输出

1 5 3 4 2
Impossible!
1 5 2 4 3

备注

100%的数据满足 \(N,M \le 100000,D\le 3\) 。

题解

知识点：拓扑排序。

注意到我们要求数字小的先完成，比如 \(1\) 号还没完成则走的路必须是直接到 \(1\) 的路径，中间不能走别的。

显然我们很难确定某个分支到目前最小的编号的路径进行拓扑排序，但从目标点出发反推是容易的，只需要建一个反图。

同时，因为是从目标点往前顺序出点，因此先出的点应该是当前优先级最低的，这样才能保证正序后在前面的点优先级尽量高，所以我们用优先队列先出编号大的。

随后统计出点个数，小于总数则无解。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

int n, m;
struct edge {
    int v, nxt;
}e[100007];
int h[100007], idx;
void add(int u, int v) {
    e[++idx] = edge{ v,h[u] };
    h[u] = idx;
}

int deg[100007], cnt, ans[100007];
priority_queue<int> pq;
void toposort() {
    for (int i = 1;i <= n;i++) if (!deg[i]) pq.push(i);
    while (!pq.empty()) {
        int u = pq.top();
        pq.pop();
        ans[n - cnt] = u;
        cnt++;
        for (int i = h[u];i;i = e[i].nxt) {
            int v = e[i].v;
            deg[v]--;
            if (!deg[v]) pq.push(v);
        }
    }
}

bool solve() {

    memset(h, 0, sizeof(h));
    idx = 0;
    memset(deg, 0, sizeof(deg));
    cnt = 0;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        add(v, u);
        deg[u]++;
    }

    toposort();

    if (cnt < n) cout << "Impossible!" << '\n';
    else {
        for (int i = 1;i <= n;i++) cout << ans[i] << ' ';
        cout << '\n';
    }

    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}