Solution -「CF 724F」Uniformly Branched Trees

Description

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给定三个数 \(n,d,mod\)，求有多少种 \(n\) 个点的不同构的树满足：除了度数为 \(1\) 的结点外，其余结点的度数均为 \(d\)。答案对质数 \(mod\) 取模。

Solution

感觉这个题好神啊，看 Editorial 看了半天。

先考虑 rooted 情况。设 \(f(i,j,k)\) 为有 \(i\) 个结点，当前根有 \(j\) 棵 subtree，最大的子树大小不超过 \(k\) 的答案，字数内的结点的度数皆为 given \(d\)（除了当前根本身）。

转移即：

\[f(i,j,k)=f(i,j,k-1)+\left(\sum_{l=1}^{l\le d,k\times l<i}f(i-k\times l,j-l,k-1)\times\binom{f(k,d-1,k-1)+l-1}{l}\right)
\]

意义我就直接 copy CSDN@forever_shi 了：

　解释一下这个式子，就是你子树大小不超过 \(k\) 的可以从都不超过 \(k−1\) 的转移过来，然后我们可以之前子树都是不超过 \(k−1\)，现在开始是不超过 \(k\) 的了，也就是在当前选了若干个大小是 \(k\) 的子树，而这几个是一个可重组合，于是乘那个组合数。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
int n,d,MOD,far[1010],exfar[1010],f[1010][20][1010];
void exGCD(int one,int ano,int &x,int &y)
{
	if(ano==0)
	{
		x=1;
		y=0;
	}
	else
	{
		exGCD(ano,one%ano,y,x);
		y-=(one/ano)*x;
	}
}
int inv(int val)
{
	int res,w;
	exGCD(val,MOD,res,w);
	return (res%MOD+MOD)%MOD;
}
int C(int n,int k)
{
	if(n<k)	return 0;
	else
	{
		int res=1;
		for(int i=1;i<=k;++i)	res=LL(res)*(n-i+1)%MOD;
		return LL(res)*exfar[k]%MOD;
	}
}
int main()
{
	scanf("%d %d %d",&n,&d,&MOD);
	if(n<=2)
	{
		printf("1\n");
		return 0;
	}
	far[0]=exfar[0]=1;
	for(int i=1;i<=d;++i)	far[i]=LL(far[i-1])*i%MOD;
	for(int i=1;i<=d;++i)	exfar[i]=inv(far[i]);
	for(int i=0;i<=n;++i)	f[1][0][i]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		for(int j=1;j<i && j<=d;++j)
		{
			for(int k=1;k<=n;++k)
			{
				f[i][j][k]=f[i][j][k-1];
				for(int l=1;l*k<i && l<=j;++l)
				{
					if(k>1)	f[i][j][k]=(f[i][j][k]+LL(f[i-k*l][j-l][k-1])*C(f[k][d-1][k-1]+l-1,l)%MOD)%MOD;
					else	f[i][j][k]=(f[i][j][k]+LL(f[i-k*l][j-l][k-1])*C(f[k][0][k-1]+l-1,l)%MOD)%MOD;
				}
			}
		}
	}
	if(n&1)	printf("%d\n",f[n][d][n>>1]);
	else	printf("%d\n",(f[n][d][n>>1]-C(f[n>>1][d-1][n>>1],2)+MOD)%MOD);
	return 0;
}