【字符串，哈希】【Yandex】Yandex7736

2023.6.30 Problem Link

定义一个串 \(S\) 是好的，当且仅当 \(S\) 可以不断消去相邻两个相同字符直至消空。给定一个长为 \(n\) 的字符串 \(s\)，求有多少个有序对 \((i,j)\) 满足 \(s_i\neq s_j\) 且交换 \(s_i,s_j\) 后 \(s\) 是好的。

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技巧：镜面对称矩阵哈希，\(A^2=I\)

考虑哈希，给每种字符赋一个特殊的矩阵，使得相邻两个相同的字符乘起来可以变成 \(I\) 然后消掉。后面只需要一个猫树分治和一个哈希表即可，不是这里的重点。这里只提怎样构造这么一个矩阵。

考虑三维空间中的镜面对称。在三维空间中随一个过原点的平面 \(Ax+By+Cz=0\)，那么点 \((a,b,c)\) 的对称点是形如三维向量 \((a,b,c)\) 左乘上一个矩阵 \(A\)，由于 \((a,b,c)\) 的对称点的对称点一定是自己，所以 \(AA=I\) 一定成立。

考虑怎么算平面 \(Ax+By+Cz=0\) 对应的矩阵 \(A\)。平面 \(Ax+By+Cz=0\) 的法向量为 \((A,B,C)\)，所以点 \((a,b,c)\) 在平面上的投影一定形如 \((At+a,Bt+b,Ct+c)\)，代入得 \((A^2+B^2+C^2)t+Aa+Bb+Cc=0\)。

解得 \(t\) 之后可以很容易求出 \((a,b,c)\) 的对称点，矩阵即可求出。