UOJ#435. 【集训队作业2018】Simple Tree 树链剖分,分块

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前言

分块题果然是我这种蒟蒻写不动的。由于种种原因，我写代码的时候打错了很多东西，最致命的是数组开小了。**windows不能检测数组越界，能眼查出来这运气是真的好。

题解

首先树链剖分，把问题转化为序列上的问题。

然后我们分块。

考虑如何维护每一块的答案。

初始时，我们预处理将每一块的相同值元素合并。

考虑修改操作：

如果是整块修改，那么临界指针位移即可。

否则就是零散修改，我们可以直接重构整个块。由于时间复杂度要求比较紧，所以我们需要想一个不带 log 的重构方法。

首先一个棘手的问题就是我们难以在不带 log 的前提下对要修改的值在块内有序序列中的定位。

于是我们考虑再维护一个不离散化的有序表，并提前处理出每一个值在这个有序表中的位置。这样，我们在修改了一些值之后，只需要做一次对两个有序表进行归并即可。

（写完代码后才发现似乎可以简单些……）

由于套了一层树链剖分，所以看起来时间复杂度是 $O(m\sqrt{n}\log n)$ 的。

但是仔细看可以发现，单次操作中，整块修改的次数是 $O(\sqrt n)$ 的，块内重构的次数是 $O(\sqrt n\log n)$ 的。

于是，通过调整块大小，就可以得到了一个 $O(n\sqrt{n \log n})$ 的算法。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb(x) push_back(x)
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=100005;
int n,m,type;
int a[N];
vector <int> e[N];
int fa[N],depth[N],size[N],son[N],top[N],I[N],O[N],aI[N];
void dfs1(int x,int pre,int d){
	fa[x]=pre,depth[x]=d,size[x]=1,son[x]=0;
	for (auto y : e[x])
		if (y!=pre){
			dfs1(y,x,d+1);
			size[x]+=size[y];
			if (!son[x]||size[y]>size[son[x]])
				son[x]=y;
		}
}
int Time=0;
void dfs2(int x,int Top){
	I[x]=++Time;
	aI[Time]=x;
	top[x]=Top;
	if (son[x])
		dfs2(son[x],Top);
	for (auto y : e[x])
		if (y!=fa[x]&&y!=son[x])
			dfs2(y,y);
	O[x]=Time;
}
int lastans=0;
const int B=50;
int v[N/B+5][B+5],c[N/B+5][B+5],v2[N/B+5][B+5];
int cnt[N/B+5],d[N/B+5],p[N/B+5],tot[N/B+5],cnt2[N/B+5];
int pos[N];
int bid(int x){
	return x==0?-1:(x-1)/B;
}
void getv(int b){
	v[b][1]=a[v2[b][1]];
	c[b][1]=cnt[b]=1;
	For(i,2,cnt2[b]){
		if (a[v2[b][i]]==a[v2[b][i-1]])
			c[b][cnt[b]]++;
		else {
			c[b][++cnt[b]]=1;
			v[b][cnt[b]]=a[v2[b][i]];
		}
	}
	tot[b]=d[b]=0,p[b]=cnt[b]+1;
	while (p[b]>1&&v[b][p[b]-1]>0)
		tot[b]+=c[b][--p[b]];
}
void rebuild(int b,int L,int R,int v){
	static int f[B+5],tmp[B+5],id[B+5];
	For(i,1,cnt2[b])
		a[v2[b][i]]+=d[b];
	d[b]=0,clr(f),clr(tmp);
	For(i,L,R){
		int x=aI[i],ps=pos[x];
		f[ps]=1,tmp[ps]=x,a[x]+=v;
	}
	int idc=0,i=1,j=1;
	while (1){
		while (i<=cnt2[b]&&f[i])
			i++;
		while (j<=cnt2[b]&&!f[j])
			j++;
		if (i>cnt2[b]&&j>cnt2[b])
			break;
		if (i<=cnt2[b]&&(j>cnt2[b]||a[v2[b][i]]<a[tmp[j]]))
			id[++idc]=v2[b][i++];
		else
			id[++idc]=tmp[j++];
	}
	cnt2[b]=idc;
	For(i,1,idc)
		v2[b][i]=id[i];
	For(i,1,cnt2[b])
		pos[v2[b][i]]=i;
	getv(b);
}
void Upd(int L,int R,int w){
	int Lid=bid(L),Rid=bid(R);
	if (Lid==Rid)
		rebuild(Lid,L,R,w);
	else {
		rebuild(Lid,L,(Lid+1)*B,w);
		rebuild(Rid,Rid*B+1,R,w);
		For(i,Lid+1,Rid-1){
			d[i]+=w;
			while (p[i]<=cnt[i]&&v[i][p[i]]+d[i]<=0)
				tot[i]-=c[i][p[i]++];
			while (p[i]>1&&v[i][p[i]-1]+d[i]>0)
				tot[i]+=c[i][--p[i]];
		}
	}
}
bool cmp(int x,int y){
	return a[x]<a[y];
}
void update(int x,int y,int v){
	int fx=top[x],fy=top[y];
	while (fx!=fy){
		if (depth[fx]<depth[fy])
			swap(fx,fy),swap(x,y);
		Upd(I[fx],I[x],v);
		x=fa[fx],fx=top[x];
	}
	if (depth[x]>depth[y])
		swap(x,y);
	Upd(I[x],I[y],v);
}
int Query_block(int L,int R){
	int ans=0,Lid=bid(L),Rid=bid(R);
	if (Lid==Rid){
		For(i,L,R)
			ans+=a[aI[i]]+d[Lid]>0;
	}
	else {
		Fod(i,(Lid+1)*B,L)
			ans+=a[aI[i]]+d[Lid]>0;
		For(i,Rid*B+1,R)
			ans+=a[aI[i]]+d[Rid]>0;
		For(i,Lid+1,Rid-1)
			ans+=tot[i];
	}
	return ans;
}
int Query(int x,int y){
	int ans=0,fx=top[x],fy=top[y];
	while (fx!=fy){
		if (depth[fx]<depth[fy])
			swap(fx,fy),swap(x,y);
		ans+=Query_block(I[fx],I[x]);
		x=fa[fx],fx=top[x];
	}
	if (depth[x]>depth[y])
		swap(x,y);
	ans+=Query_block(I[x],I[y]);
	return ans;
}
int main(){
	n=read(),m=read(),type=read();
	For(i,1,n-1){
		int x=read(),y=read();
		e[x].pb(y),e[y].pb(x);
	}
	For(i,1,n)
		a[i]=read();
	dfs1(1,0,0);
	dfs2(1,1);
	For(i,1,n){
		int b=bid(I[i]);
		v2[b][++cnt2[b]]=i;
	}
	int mxb=bid(n);
	For(i,0,mxb){
		sort(v2[i]+1,v2[i]+cnt2[i]+1,cmp);
		For(j,1,cnt2[i])
			pos[v2[i][j]]=j;
		getv(i);
	}
	while (m--){
		int op=read();
		if (op==1){
			int x=read(),y=read(),w=read();
			if (type)
				x^=lastans,y^=lastans;
			update(x,y,w);
		}
		else if (op==2){
			int x=read(),y=read();
			if (type)
				x^=lastans,y^=lastans;
			printf("%d\n",lastans=Query(x,y));
		}
		else if (op==3){
			int x=read();
			if (type)
				x^=lastans;
			printf("%d\n",lastans=Query_block(I[x],O[x]));
		}
	}
	return 0;
}