[LeetCode] Number of Longest Increasing Subsequence 最长递增序列的个数

Given an unsorted array of integers, find the number of longest increasing subsequence.

Example 1:

Input: [1,3,5,4,7]
Output: 2
Explanation: The two longest increasing subsequence are [1, 3, 4, 7] and [1, 3, 5, 7].

Example 2:

Input: [2,2,2,2,2]
Output: 5
Explanation: The length of longest continuous increasing subsequence is 1, and there are 5 subsequences' length is 1, so output 5.

Note: Length of the given array will be not exceed 2000 and the answer is guaranteed to be fit in 32-bit signed int.

这道题给了我们一个数组，让求最长递增序列的个数，题目中的两个例子也很好的说明了问题。那么对于这种求极值的问题，直觉告诉我们应该要使用动态规划 Dynamic Programming 来做。其实这道题在设计 DP 数组的时候有个坑，如果将 dp[i] 定义为到i位置的最长子序列的个数的话，则递推公式不好找。但是如果将 dp[i] 定义为以 nums[i] 为结尾的递推序列的个数的话，再配上这些递推序列的长度，将会比较容易的发现递推关系。这里用 len[i] 表示以 nums[i] 为结尾的递推序列的长度，用 cnt[i] 表示以 nums[i] 为结尾的递推序列的个数，初始化都赋值为1，只要有数字，那么至少都是1。然后遍历数组，对于每个遍历到的数字 nums[i]，再遍历其之前的所有数字 nums[j]，当 nums[i] 小于等于 nums[j] 时，不做任何处理，因为不是递增序列。反之，则判断 len[i] 和 len[j] 的关系，如果 len[i] 等于 len[j] + 1，说明 nums[i] 这个数字可以加在以 nums[j] 结尾的递增序列后面，并且以 nums[j] 结尾的递增序列个数可以直接加到以 nums[i] 结尾的递增序列个数上。如果 len[i] 小于 len[j] + 1，说明找到了一条长度更长的递增序列，那么此时将 len[i] 更新为 len[j]+1，并且原本的递增序列都不能用了，直接用 cnt[j] 来代替。在更新完 len[i] 和 cnt[i] 之后，要更新 mx 和结果 res，如果 mx 等于 len[i]，则把 cnt[i] 加到结果 res 之上；如果 mx 小于 len[i]，则更新 mx 为 len[i]，更新结果 res 为 cnt[i]，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int res = , mx = , n = nums.size();
        vector<int> len(n, ), cnt(n, );
        for (int i = ; i < n; ++i) {
            for (int j = ; j < i; ++j) {
                if (nums[i] <= nums[j]) continue;
                if (len[i] == len[j] + ) cnt[i] += cnt[j];
                else if (len[i] < len[j] + ) {
                    len[i] = len[j] + ;
                    cnt[i] = cnt[j];
                }
            }
            if (mx == len[i]) res += cnt[i];
            else if (mx < len[i]) {
                mx = len[i];
                res = cnt[i];
            }
        }
        return res;
    }
};

下面这种方法跟上面的解法基本一样，就是把更新结果 res 放在了遍历完数组之后，我们利用 mx 来找到所有的 cnt[i]，累加到结果 res 上，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int res = , mx = , n = nums.size();
        vector<int> len(n, ), cnt(n, );
        for (int i = ; i < n; ++i) {
            for (int j = ; j < i; ++j) {
                if (nums[i] <= nums[j]) continue;
                if (len[i] == len[j] + ) cnt[i] += cnt[j];
                else if (len[i] < len[j] + ) {
                    len[i] = len[j] + ;
                    cnt[i] = cnt[j];
                }
            }
            mx = max(mx, len[i]);
        }
        for (int i = ; i < n; ++i) {
            if (mx == len[i]) res += cnt[i];
        }
        return res;
    }
};

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/673

类似题目：

Longest Increasing Subsequence

Longest Continuous Increasing Subsequence

参考资料：

https://leetcode.com/problems/number-of-longest-increasing-subsequence/

https://leetcode.com/problems/number-of-longest-increasing-subsequence/discuss/107318/C%2B%2B-DP-with-explanation-O(n2)

https://leetcode.com/problems/number-of-longest-increasing-subsequence/discuss/107293/JavaC%2B%2B-Simple-dp-solution-with-explanation

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