[SGU495] Kids and Prizes (概率dp)

题目链接：http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=495

题目大意：有N个盒子，里面都放着礼物，M个人依次去选择盒子，每人仅能选一次，如果里面有礼物则将礼物取出来，把空盒子放回原位，若没有礼物，则把空盒子放回原位。求礼物被拿走的个数的数学期望。

令 x[i] 代表第i个人拿到的礼物的个数，即值为0或1。

那么，N个人拿到的礼物的个数为 X = Sigma(X[i])。

因此 E[X] = E[Sigma(X[i])] = Sigma(E[X[i]])

其中，X[i]服从两点分布，即E[X[i]] = P(i)。

定义状态f[i]代表第i个人能够抓到礼物的概率，可以将样本空间划分为第i-1个人拿到了礼物和第i-1个人没拿到礼物。

因此有 P(i) = P(i|~i-1) + P(i|i-1) 即 f[i] = f[i-1]*(f[i-1]-1/n)+(1-f[i-1])*f[i-1]

化简得f[i] = f[i-1]*(1-1/n)。

进一步。。数学期望就可以用等比数列求和公式来做了。。。。。

有代码：

 ///#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <bitset>
 #include <cmath>
 #include <numeric>
 #include <iterator>
 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <functional>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <string>
 #include <cctype>
 using namespace std;
 #define PB push_back
 #define MP make_pair
 #define SZ size()
 #define ST begin()
 #define ED end()
 #define CLR clear()
 #define ZERO(x) memset((x),0,sizeof(x))
 typedef long long LL;
 typedef unsigned long long ULL;
 typedef pair<int,int> PII;
 const double EPS = 1e-;

 const int MAX_N = +;

 double f[MAX_N];
 int N,M;

 int main() {
     while( ~scanf("%d%d",&N,&M) ) {
         f[] = 1.0;
         double ans = 1.0;
         for( int i=;i<=M;i++ ){
             f[i] = (1.0-f[i-])*f[i-] + f[i-]*( f[i-]-1.0/N );
             ans += f[i];
         }
         printf("%.11f\n",ans);
     }
     return ;
 }