0 or 1

题目链接http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4370

Description:

Given a n*n matrix Cij (1<=i,j<=n),We want to find a n*n matrix Xij (1<=i,j<=n),which is 0 or 1.

Besides,Xij meets the following conditions:

1.X12+X13+...X1n=1
2.X1n+X2n+...Xn-1n=1
3.for each i (1<i<n), satisfies ∑Xki (1<=k<=n)=∑Xij (1<=j<=n).

For example, if n=4,we can get the following equality:

X12+X13+X14=1
X14+X24+X34=1
X12+X22+X32+X42=X21+X22+X23+X24
X13+X23+X33+X43=X31+X32+X33+X34

Now ,we want to know the minimum of ∑Cij*Xij(1<=i,j<=n) you can get.

Input:

The input consists of multiple test cases (less than 35 case).
For each test case ,the first line contains one integer n (1<n<=300).
The next n lines, for each lines, each of which contains n integers, illustrating the matrix C, The j-th integer on i-th line is Cij(0<=Cij<=100000).

Output:

For each case, output the minimum of ∑Cij*Xij you can get.

Sample Input:

4 1 2 4 10 2 0 1 1 2 2 0 5 6 3 1 2

Sample Output:

3

Hint:

For sample, X12=X24=1,all other Xij is 0.

题意:

给出一个s矩阵,每个位置都有对应的权值,然后要求你构造一个X矩阵,满足一下条件:

1.X12+X13+...+X1n = 1;

2.X1n+X2n+...+Xn-1n = 1;

3.当1<i<n时,∑Xki (1<=k<=n)=∑Xij (1<=j<=n)。

问在满足以上条件的情况下,∑Cij*Xij(1<=i,j<=n)的最小值为多少?

题解:

orz神题...十分巧妙。

主要的思路就是将我们构造的X矩阵当作邻接矩阵就行了,对应位置为1则代表对应的行和列之间有连一条边。

那么根据条件我们知道:1号点只有一个出度,n号点只有一个入度,且2~n-1号点入度出度相等。

想到这里了之后,还要想两种情况:第1种是从1号点出发直接到n号点,中间每个点的出入度相等;第2种是从1号点出发然后形成一个环最后回到1号点,对于n号点也同理。

对于第一种情况很好求解,直接跑次spfa就行了,注意下对应边的权值,就为S数组里面的权值。

对于第二种情况,从1和n出发跑两次spfa,然后在spfa里面加个判断就ok了。

两种的spfa可以合并一下,本题就解完了~

代码如下:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = ;
int n,tot,mn;;
int vis[N],head[N],c[N][N],d[N];
struct Edge{
int v,w,next;
}e[N*N<<];
void adde(int u,int v,int w){
e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].next=head[u];head[u]=tot++;
}
void spfa(int s){
memset(vis,,sizeof(vis));
queue<int> q;q.push(s);vis[s]=;
memset(d,INF,sizeof(d));d[s]=;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();vis[u]=;
for(int i=head[u];i!=-;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(d[v]>d[u]+e[i].w){
d[v]=d[u]+e[i].w;
if(!vis[v]){
vis[v]=;
q.push(v);
}
}
if(v==s){
mn=min(mn,d[u]+e[i].w);
}
}
}
return ;
}
int main(){
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
scanf("%d",&c[i][j]);
memset(head,-,sizeof(head));tot=;
for(int i=;i<=n;i++){
for(int j=;j<=n;j++){
if(i==j) continue ;
adde(i,j,c[i][j]);
}
}
mn=INF;
spfa();
int tmp=mn,ans=INF;
mn=INF;
ans=d[n];
spfa(n);
ans=min(ans,mn+tmp);
cout<<ans<<endl;
}
return ;
}

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