最短路径之Dijkstra算法及实例分析

Dijkstra算法迪科斯彻算法

Dijkstra算法描述为：假设用带权邻接矩阵来表示带权有向图。首先引进一个辅助向量D，它的每个分量D[i]表示当前所找到的从始点v到每个终点Vi的最短路径。它的初始状态为：若两顶点之间有弧，则D[i]为弧上的权值；否则置D[i]为无穷大。

1. 找到与源点v最近的顶点，并将该顶点并入最终集合S；

2. 根据找到的最近的顶点更新从源点v出发到集合V-S上可达顶点的最短路径；

3. 重复以上操作。

以前总是认为Dijkstra算法可以用来求从源点到指定终点的最短路径，导致总不能抓住算法的中心思想。现在认为把握Dijkstra的算法要点为：

1. Dijkstra提出了一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法；

2. 每次循环都可以得到一个从源点到某个顶点的最短路径，某个即不是确定的一个；

以 带权有向图 1为例说明Dijkstra算法的执行过程：

图1  带权有向图

假设源点为v0，则初始状态时源点到其它各顶点的距离为：<∽代表无穷大>

源点 终点	v1	v2	v3	v4	v5
v0	∽	10	∽	30	100

由上表可知，与源点v0最近的顶点为v2，距离为10。

将v2加入到最终顶点集合S中。

再根据v2更新从源点到其它顶点的最短距离，即从v0-v2-v3的距离为60<∽，所以将v0到v3的距离更新为60，如下表所示：

源点 终点	v1	v2	v3	v4	v5
v0	∽	10	60	30	100

由上表可知，与源点v0次近的顶点为v4，距离为30。

将v4加入到最终顶点集合S中；

再根据v4更新从源点到其它顶点的最短距离。即从v0-v4-v3的距离为50<60，所以将v0到v3的距离更新为50；从v0-v4-v5的距离为90<100，所以将v0到v5的距离更新为90。

源点 终点	v1	v2	v3	v4	v5
v0	∽	10	50	30	90

重复以上操作……

直到最终集合包含了所有的顶点。

以上参考来源：http://www.cppblog.com/eryar/archive/2013/01/01/196897.html

>>应用例子：深大各地点之最短路径

#include<iostream>

#include<stack>

#include<string>

#defineM 100

#defineN 100

#definev_num 8  //顶点个数

#definee_num 11 //边数

usingnamespace std;

classMGraph

{

public:

string name[v_num];          
//顶点名称

string info[v_num];        
//顶点信息

int matrix[N][M];     
//邻接矩阵

int n ;                
//顶点数

int e ;                
//边数

public:

MGraph(int v_n,int e_n){ n = v_n; e =e_n; }

void help();

void buildMap();

void buildInfo();

void display();

void findInfo(int v);

void findDij(int v0,int v);

};

//主菜单

voidhelp()

{

cout<<"************************************"<<endl;

cout<<"<1> 查询景点介绍\n";

cout<<"<2> 查询任意两个景点之间的最佳路线\n";

cout<<"<other> 退出\n";

cout<<"************************************"<<endl;

}

//景点距离

voidMGraph::buildMap()

{

matrix[0][1] = 5;

matrix[1][3] = 5;

matrix[1][2] = 8;

matrix[2][3] = 5;

matrix[3][4] = 5;

matrix[4][5] = 4;

matrix[4][6] = 10;

matrix[3][6] = 10;

matrix[5][6] = 10;

matrix[5][7] = 20;

matrix[6][7] = 15;

}

//景点名称及介绍信息

voidMGraph::buildInfo()

{

name[0] = "南区";info[0] ="南区有学生宿舍以及新建的信工，机电，医学院大楼";

name[1] = "学生活动中心/石头坞"; info[1] = "各种学生活动的主要场所";

name[2] = "南图";info[2] = "南图书馆与北图书馆相对而立，主要存放理工科类书籍";

name[3] = "教学楼";info[3] ="顾名思义，很多课程都在这上，建筑呈之字形，分A,B,C,D四栋";

name[4] = "北图";info[4] ="北图书馆文学气息浓厚，主要存放文科类书籍";

name[5] = "办公楼";info[5] ="深圳大学的行政办公楼";

name[6] = "科技楼";info[6] ="又被称为中指楼，深大最具特色的建筑，兼具办公，科研";

name[7] = "文科楼";info[7] ="文科楼是深大学生主要上课的场所之一";

}

//显示景点

voidMGraph::display()

{

int i;

cout<<"*******************************菜单**********************************"<<endl;

cout<<"*********************************************************************"<<endl;

cout<<"<0>返回上层菜单       ";

for(i=0;i<v_num;++i)

{

if((i+2)%3==0)

{

cout<<'<'<<i+1<<'>'<<name[i]<<endl;

cout<<"---------------------------------------------------------------------"<<endl;

}

else

cout<<'<'<<i+1<<'>'<<name[i]<<"                ";

}

cout<<endl;

cout<<"*********************************************************************"<<endl<<endl;

}

//查询景点信息

voidMGraph::findInfo(int v)

{

cout<<"-------------------------<"<<name[v]<<">------------------------------"<<endl;

cout<<endl;

cout<<info[v]<<endl;

cout<<"---------------------------------------------------------------------"<<endl;

cout<<endl<<endl;

}

//最短路径算法

voidMGraph::findDij(int v0,int v)   //v0表示源顶点

{

int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);

int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);

int i,j,k;

bool *visited=(bool*)malloc(sizeof(bool)*n);

for(i=0;i<n;i++)     //初始化

{

if(matrix[v0][i]>0&&i!=v0)

{

dist[i]=matrix[v0][i];

path[i]=v0;    
//path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点

}

else

{

dist[i]=INT_MAX;   
//若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大

path[i]=-1;

}

visited[i]=false;

path[v0]=v0;

dist[v0]=0;

}

visited[v0]=true;

for(i=1;i<n;i++)    
//循环扩展n-1次

{

int min=INT_MAX;

int u;

for(j=0;j<n;j++)   
//寻找未被扩展的权值最小的顶点

{

if(visited[j]==false&&dist[j]<min)

{

min=dist[j];

u=j;

}

}

visited[u]=true;

for(k=0;k<n;k++)  
//更新dist数组的值和路径的值

{

if(visited[k]==false&&matrix[u][k]>0&&min+matrix[u][k]<dist[k])

{

dist[k]=min+matrix[u][k];

path[k]=u;

}

}

}

//输出最短路线

cout<<endl<<name[v0]<<"到"<<name[v]<<"的最短路径是："<<dist[v]<<endl;

//打印路线

stack<int> s;

int u=v;

while(v!=v0)

{

s.push(v);

v=path[v];

}

s.push(v);

cout<<"具体路线为：";

while(!s.empty())

{

cout<<name[s.top()]<<"";

s.pop();

}

cout<<endl<<endl;

}

//主函数

intmain(int argc, char *argv[])

{

int i,j,c2;

char c1;

MGraph g(v_num,e_num);

int v0,v;

for(i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<M;j++)

g.matrix[i][j]=10000;

g.buildInfo();

g.buildMap();

do

{

help();

cout<<"请选择查询内容："<<endl;

cin>>c1;

switch(c1)

{

case'1':while(1)

{

g.display();

cout<<"请输入查询景点编号："<<endl;

cin>>c2;

if(c2==0) break;

g.findInfo(c2-1);

}

break;

case'2':while(1)

{

g.display();

cout<<"请依次输入两个查询景点编号(第一个编号小于第二个)："<<endl;

cin>>v0>>v;

if(v0==0||v==0)  break;

g.findDij(v0-1,v-1);

}

break;

}

}while(c1=='1'||c1=='2');

return 0;

}