K - 回转寿司(值域段数（板题） + 动态开点)

回转寿司

Description

酷爱日料的小Z经常光顾学校东门外的回转寿司店。在这里，一盘盘寿司通过传送带依次呈现在小Z眼前。不同的寿

司带给小Z的味觉感受是不一样的，我们定义小Z对每盘寿司都有一个满意度，例如小Z酷爱三文鱼，他对一盘三文

鱼寿司的满意度为10；小Z觉得金枪鱼没有什么味道，他对一盘金枪鱼寿司的满意度只有5；小Z最近看了电影“美

人鱼”，被里面的八爪鱼恶心到了，所以他对一盘八爪鱼刺身的满意度是-100。特别地，小Z是个著名的吃货，他

吃回转寿司有一个习惯，我们称之为“狂吃不止”。具体地讲，当他吃掉传送带上的一盘寿司后，他会毫不犹豫地

吃掉它后面的寿司，直到他不想再吃寿司了为止。今天，小Z再次来到了这家回转寿司店，N盘寿司将依次经过他的

面前，其中，小Z对第i盘寿司的满意度为Ai。小Z可以选择从哪盘寿司开始吃，也可以选择吃到哪盘寿司为止，他

想知道共有多少种不同的选择，使得他的满意度之和不低于L，且不高于R。注意，虽然这是回转寿司，但是我们不

认为这是一个环上的问题，而是一条线上的问题。即，小Z能吃到的是输入序列的一个连续子序列；最后一盘转走 之后，第一盘并不会再出现一次。

Input

第一行包含三个整数N，L和R，分别表示寿司盘数，满意度的下限和上限。 第二行包含N个整数Ai，表示小Z对寿司的满意度。

N≤100000，|Ai|≤100000，0≤L, R≤10^9 Output

仅一行，包含一个整数，表示共有多少种选择可以使得小Z的满意度之和 不低于L且不高于R。 Sample Input

5 5 9
1 2 3 4 5

Sample Output

 6

铺垫知识

值域线段树

• 定义：值域线段是是用来 统计插入到[ l , r] 区域内的元素的个数，值域线段树每一个节点代表一个值，其他与普通线段树没什么区别。

动态开点

• 作用：在一颗线段树中，我们在不断插入点\访问区间的时候，我们可能不会在所有的区间插入数值、可能不会访问到所有的区间，那么我们就没必要给线段一下子开满空间，我们只需要在访问某个区间的时候把这个区间建立出来就行了，这样就节省了空间。
• 使用情况： 根据它节省空间的作用，我们就可看出它明显使用在 直接建立线段树空间不够的情况。
• 附上动态开点过程图：

红框中是我们将要访问到那个子节点就动态建立那个子节点区间，而其他部分则是不存在的

• 动态开点核心代码：

 ll tree[Len], lson[Len],rson[Len];

int tot = 0;			//当前总共的节点的个数
ll root = 1;			//初始节点从1开始
int newnode()
{
    ++ tot;
    tree[tot] = lson[tot] = rson[tot] = 0;
    return tot;
}

本题思路

• 题意：这一是让起有多少个子区间的和是在所给限制范围【L， R】直接。
• 思路：那么我们可以可以用前缀和来维护连续区间和，但是直接求的话一定会T，首先我们可以列出这个不等式：L <= sum[r] - sum[l - 1] <= R，l < r, 我们可以对这个不等式进行变化为sum[r] - R <= sum[l - 1] <= sum[r] - L, 这样我们就可以不断的查询[ sum[ r ] - R, sum[ r ] - L ],这个区间内符合题意的 sum[ l - 1]的数量就行了，最后有一点要注意到，由于 l < r 但我们查询 sum[r] - R <= sum[l - 1] <= sum[r] - L这个区间的时候我们已经把 位于 r 之前的所有可能的sum[ l ] 已经更新过了，这样就保证了我们要查询那个区间，那个区间内的所有树都确保已经被更新过了。
• 最中后 请注意一下：我们要更新的 sum[l - 1] 中的 l - 1 的范围，因为是由于 sum维护的是前缀和，所以 r 的范围是[1, n],又因为 l < r, 所以 l - 1 的范围是 [0, n - 1] , 所以我们更新的范围是 sum[0]、sum[1]、sum[2].....sum[n - 1]。

题解

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

#define INF 1e10
#define ll long long
const int maxn = 100005;
const int Len = 1e7 + 5;
ll sum[maxn];
ll tree[Len], lson[Len],rson[Len];	//注意左右儿子数组存储的是 子区间的tree数组下标 

int tot = 0;
ll root = 1;
int newnode()
{
    ++ tot;
    tree[tot] = lson[tot] = rson[tot] = 0;
    return tot;
}

void Update(ll & rt, ll l, ll r, ll val)	//请千万⚠️ 这一行里面的引用！！！
{
    if(! rt)
        rt = newnode();
    tree[rt] ++;

    if(l == r) return;

    ll m = (l + r) >> 1;
    if(val <= m) Update(lson[rt], l, m, val);
    else Update(rson[rt], m+1, r, val);
}

ll Query(ll rt, ll l, ll r, ll s, ll e)
{
    if(s <= l && r <= e)
        return tree[rt];

    ll m = (l + r) >> 1;
    ll res = 0;
    if(s <= m) res += Query(lson[rt], l, m, s, e);
    if(e >  m) res += Query(rson[rt], m+1,r, s, e);
    return res;
}

int main()
{
    //freopen("A.txt","r",stdin);
    int n, l, r;
    scanf("%d %d %d", &n, &l, &r);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%lld", &sum[i]), sum[i] += sum[i - 1];
    ll ans = 0;
    Update(root, -INF, INF, 0);
    for(int i = 1; i <= n; ji ++)
    {
        ans += Query(root, -INF, INF, sum[i] - r, sum[i] - l);
        Update(root, -INF, INF, sum[i]);
    }
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}