[bzoj4010][HNOI2015]菜肴制作_贪心_拓扑排序

菜肴制作 bzoj-4010 HNOI-2015

题目大意：给定一张n个点m条边的有向图，求一个toposort，使得：（1）满足编号为1的点尽量在前；（2）满足（1）的情况下编号为2的点尽量在前，以此类推。

注释：$1\le n,m\le 10^5$，$1\le cases \le 3$。

---

想法：只需要先求字典序最大toposort，然后逆序输出即可。

简单的证明：字典序最大的toposort是将当前所有解锁的中编号最大的点放在首位，这样1就会自然而然排在最后。自然就会满足所有的条件。

更严格地，我们采用数学归纳法。

奠基：如上文，我们将可能放在1前面的都放在了1前面，逆序输出的话就会使得1的位置是可能情况下最靠前的，即满足（1）。

归纳假设：若前i个条件都会且仅会在最大拓扑序逆序的条件下被满足，那么对于第i+1点，在前i个点都满足题意的时候，当前解锁的点中如果没有i+1，不考虑。

如果有i+1：

当这些点中还有比i+1更小的点，由归纳假设，想满足前i个条件，只能先放比i大的点，所以比i+1小的点我们不理它们。

那么只考虑不小于i+1的点，我们期望满足条件（i+1）。

所以我们将所有比i+1大的点都先放出来，这样会最大限度地使i+1靠前。

直到当前解锁的点中i+1为最大者，我们才将它放出来。

这样的话，因为满足前i个条件的话我们不能解锁小于i+1的点。在这样的情况下我们又将所有可能放在i+1后面的点放在了i+1后面，所以i+1是在满足前i个条件下最靠前的。

这样我们就满足了条件（i+1）。

证毕。

最后，附上丑陋的代码... ...

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define N 100010
using namespace std;
priority_queue<int>q;
int to[N],nxt[N],head[N],tot;
bool vis[N]; int num[N],cnt,ans[N],n,m;
inline void add(int x,int y)
{
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
inline void original()
{
    tot=cnt=0;
    memset(head,0,sizeof head);
    memset(num,0,sizeof num);
    memset(vis,false,sizeof vis);
    while(!q.empty()) q.pop();
}
bool flag;
void toposort()
{
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.top(); q.pop();
        ans[++cnt]=x;
        vis[x]=true;
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
        {
            num[to[i]]--;
            if(!num[to[i]]) q.push(to[i]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) {flag=false; return; }
}
int main()
{
    int cases; cin >> cases ;
    while(cases--)
    {
        original();
        cin >> n >> m ;
        for(int x,y,i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&x,&y),add(y,x),num[x]++;
        flag=true;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(num[i]) continue;
            q.push(i);
        }
        toposort();
        if(flag) for(int i=cnt;i>=1;i--) printf("%d ",ans[i]);
        else printf("Impossible! ");
        puts("");
    }
}
/*
3
5 4
5 4
5 3
4 2
3 2
3 3
1 2
2 3
3 1
5 2
5 2
4 3
*/

小结：大胆假设，小心求证