【BZOJ3992】【SDOI2015】序列统计 EGF+多项式快速幂+循环卷积

如果是求$n$个数之和在模$m$意义下为$x$，那么做法是显然的。

但是这道题问的是$n$个数之积在模m意义下为$x$，那么做法就和上面的问题不同。

考虑如何把乘法转换成加法（求log）：

题目中有一个很特殊的条件：$m$是个质数。

不妨假设$m$的原根为$g$。那么显然，我们可以用$g^x%m$构造出$[0,m)$中的所有数。

那么对于两个数$A$和$B$，我们将它变形为$g^{x_1}$和$g^{x_2}$，那么$A \times B=g^{x_1+x_2}$。

我们构造一个m-1次多项式A，对于A的第i项，A_i=$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1 \ [x^i \equiv k(mod\ m),\ k∈S].\\0 \end{array} \right. \end{equation}$。

然后，不妨设读入的$X=g^k$，则答案即为$[x^k]A^n(x)$，注意这里的卷积是循环卷积。

然后就没了，注意S中出现0的情况。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M 32768
 #define MOD 1004535809
 #define G 3
 #define L long long
 using namespace std; 

 L pow_mod(L x,L k){
     L ans=;
     while(k){
         if(k&) ans=ans*x%MOD;
         x=x*x%MOD; k>>=;
     }
     return ans;
 }

 void change(L a[],int n){
     for(int i=,j=;i<n-;i++){
         if(i<j) swap(a[i],a[j]);
         int k=n>>;
         while(j>=k) j-=k,k>>=;
         j+=k;
     }
 }
 void NTT(L a[],int n,int on){
     change(a,n);
     for(int h=;h<=n;h<<=){
         L wn=pow_mod(G,(MOD-)/h);
         for(int j=;j<n;j+=h){
             L w=;
             for(int k=j;k<j+(h>>);k++){
                 L u=a[k],t=a[k+(h>>)]*w%MOD;
                 a[k]=(u+t)%MOD;
                 a[k+(h>>)]=(u-t+MOD)%MOD;
                 w=w*wn%MOD;
             }
         }
     }
     if(on==-){
         L inv=pow_mod(n,MOD-);
         for(int i=;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
         reverse(a+,a+n);
     }
 }
 L a[M]={},b[M]={},ans[M]={};
 int gn[M]={},g=,vis[M]={};

 void get(int n){
     for(int i=;i<n;i++){
         memset(vis,,n<<);
         vis[]=; gn[]=;
         int hh=,ok=;
         for(int j=;j<n-;j++){
             hh=hh*i%n;
             if(vis[hh]){ok=; break;}
             vis[hh]=; gn[hh]=j;
         }
         if(ok){g=i; return;}
     }
 }

 int main(){
     int n,m,x,s,nn=;
     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&s);
     while(nn<(m*)) nn<<=;
     get(m);
     for(int i=;i<s;i++){
         int x; scanf("%d",&x);
         if(x==) continue;
         x=gn[x];
         a[x]++;
     }
     ans[]=; m--;
     while(n){
         if(n&){
             NTT(a,nn,); NTT(ans,nn,);
             for(int i=;i<nn;i++) ans[i]=ans[i]*a[i]%MOD;
             NTT(a,nn,-); NTT(ans,nn,-);
             for(int i=;i<m;i++) ans[i]=(ans[i]+ans[i+m])%MOD;
             for(int i=m;i<nn;i++) ans[i]=;
         }
         NTT(a,nn,);
         for(int i=;i<nn;i++) a[i]=a[i]*a[i]%MOD;
         NTT(a,nn,-);
         for(int i=;i<m;i++) a[i]=(a[i]+a[m+i])%MOD;
         for(int i=m;i<nn;i++) a[i]=;
         n>>=;
     }
     printf("%lld\n",ans[gn[x]]);
 }