2018.10.23 NOIP训练 Leo的组合数问题（组合数学+莫队）

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好题。

考察了莫队和组合数学两个知识板块。

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首先需要推出单次已知n,mn,mn,m的答案的式子。

我们令f[i]f[i]f[i]表示当前最大值为第iii个数的方案数。

显然iii之后的数都是单调递减且连续的。

所以后面的方法是1种。

考虑第111~i−1i-1i−1个位置。

显然放法数为∑j=1i−1f[j]\sum _{j=1} ^{i-1}f[j]∑j=1i−1​f[j]

又因为f[1]=1,f[i−1]=∑j−1i−2f[j]f[1]=1,f[i-1]=\sum _{j-1} ^{i-2}f[j]f[1]=1,f[i−1]=∑j−1i−2​f[j]

因此f[i]=∑j=1i−1f[j]=∑j=1i−2f[j]+f[i−1]=2∗f[i−1]=2if[i]=\sum _{j=1} ^{i-1}f[j]=\sum _{j=1} ^{i-2}f[j]+f[i-1]=2*f[i-1]=2^if[i]=∑j=1i−1​f[j]=∑j=1i−2​f[j]+f[i−1]=2∗f[i−1]=2i

于是此时Ans=∑i=1n(mi)∗2i−1Ans=\sum _{i=1} ^n \binom {m} {i}*2^{i-1}Ans=∑i=1n​(im​)∗2i−1

然后考虑在已知当前答案时如何快速求出其它答案。

我们把n,mn,mn,m看成两个下标l,rl,rl,r，现在要转移到l′,r′l',r'l′,r′。

唉是不是有点莫队的味道。

于是我们只需要考虑如何O(1)O(1)O(1)转移。

令S(l,r)=∑i=1l(ri)∗2i−1S(l,r)=\sum _{i=1} ^l \binom {r} {i}*2^{i-1}S(l,r)=∑i=1l​(ir​)∗2i−1

于是

S(l+1,r)=S(l,r)+(rl+1)∗2lS(l+1,r)=S(l,r)+\binom {r} {l+1}*2^lS(l+1,r)=S(l,r)+(l+1r​)∗2l

S(l−1,r)=S(l,r)−(rl)∗2l−1S(l-1,r)=S(l,r)-\binom {r} {l}*2^{l-1}S(l−1,r)=S(l,r)−(lr​)∗2l−1

r的转移可以在杨辉三角上面看。

相当于把一行上下挪动。

推一推发现：

S(l,r+1)=3S(l,r)+(r0)∗20−(rl)∗2lS(l,r+1)=3S(l,r)+\binom {r} {0}*2^0-\binom {r} {l}*2^lS(l,r+1)=3S(l,r)+(0r​)∗20−(lr​)∗2l

S(l,r−1)=S(l,r)+(r−1l)∗2l−(r0)∗203S(l,r-1)=\frac {S(l,r)+\binom {r-1} {l}*2^l-\binom {r} {0}*2^0} {3}S(l,r−1)=3S(l,r)+(lr−1​)∗2l−(0r​)∗20​

发现这些东西预处理之后都是可以O(1)O(1)O(1)转移的。

于是就可以用莫队了。

代码