MT【136】一道三次函数的最佳逼近问题

已知函数\(f(x)=-x^3-3x^2+(1+a)x+b(a<0,b\in R)\),
若\(|f(x)|\)在\([-2,0]\)上的最大值为\(M(a,b)\),求\(M(a,b)\)的最小值

\[\begin{align*}
\textbf{解答:记}M&=M(a,b)\textbf{则}\\
3M&\ge|f(-2)|+\dfrac{1}{2}|f(-\frac{1}{2})|+\dfrac{3}{2}|f(-\frac{3}{2})| \\
&=|-6-2a+b|+\dfrac{1}{2}|-\dfrac{9}{8}-\dfrac{1}{2}a+b|+\dfrac{3}{2}|-\dfrac{39}{8}-\dfrac{3}{2}a+b|\\
&\ge|-6-2a+b-\dfrac{9}{16}-\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+\dfrac{117}{16}+\dfrac{9}{4}a-\dfrac{3}{2}b| \\
&=\dfrac{3}{4}\\
\therefore M&=\dfrac{1}{4}\textbf{当}a=-\dfrac{13}{4},b=-\dfrac{1}{4}\textbf{时等号取到}\\ \\
\textbf{或者}\\ \\
3M&\ge|f(0)|+\dfrac{3}{2}|f(-\frac{1}{2})|+\dfrac{1}{2}|f(-\frac{3}{2})| \\
&=|b|+\dfrac{3}{2}|-\dfrac{9}{8}-\dfrac{1}{2}a+b|+\dfrac{1}{2}|-\dfrac{39}{8}-\dfrac{3}{2}a+b|\\
&\ge|b+\dfrac{27}{16}+\dfrac{3}{4}a-\dfrac{3}{2}b-\dfrac{39}{16}-\dfrac{3}{4}a+\dfrac{1}{2}b| \\
&=\dfrac{3}{4}\\
\therefore M&=\dfrac{1}{4}\textbf{当}a=-\dfrac{13}{4},b=-\dfrac{1}{4}\textbf{时等号取到}
\end{align*}\]

评：如果是选择题,画图更快捷点,这题区间关于对称点对称，才有这样的问题,一般的三次就没有这样的最佳逼近形式了,二次的考察较多.