2018.07.08 NOIP模拟 ABCD（背包）

ABCD

题目背景

SOURCE：NOIP2016-AHSDFZ T2

题目描述

有 4 个长度为 N 的数组 a，b，c，d 。现在需要你选择 N 个数构成数组e ，数组e 满足 a[i]≤e[i]≤b[i] 以及


并且使得


最大。

输入格式

输入文件共 N+1 行。

第 1 行包含 1 个正整数 N 。

第 i+1 行包含 4 个整数 a[i]，b[i]，c[i]，d[i] 。

输出格式

输出共 1 行，包含 1 个整数，表示所给出公式的最大值。输入数据保证一定有解。

样例数据 1

输入

5

-1 1 2 5

-2 2 1 2

0 1 1 3

-2 -1 3 10

-2 2 3 9

输出

2

样例数据 2

输入

10

1 10 1 7

-10 10 2 0

-10 10 2 2

-10 10 2 0

1 10 1 0

-10 10 2 0

10 10 2 0

1 10 1 0

-10 10 2 0

1 10 1 0

输出

90

样例数据 3

输入

10

1 10 1 0

-10 10 2 2

-10 10 2 2

-10 10 2 2

1 10 1 0

-10 10 2 2

-10 10 2 2

1 10 1 0

-10 10 2 2

1 10 1 0

输出

-4

备注

【数据规模与约定】

对于 20% 的数据，N≤10；-2≤a[i]< b[i]≤2；

对于 60% 的数据，N≤50；-20≤a[i]< b[i]≤20；

对于 100% 的数据，N≤200；-25≤a[i]< b[i]≤25；1≤c[i]≤20；0≤d[i] ≤100000。

好吧我承认这道题我又zz" role="presentation" style="position: relative;">zzzz了，考试时竟然爆0" role="presentation" style="position: relative;">00，唉下来之后发现就是个简单dp" role="presentation" style="position: relative;">dpdp。

我们对原来的限制条件变形，让0≤num[i]≤a[i]−b[i]" role="presentation" style="position: relative;">0≤num[i]≤a[i]−b[i]0≤num[i]≤a[i]−b[i]，然后令num[i]=e[i]−a[i]" role="presentation" style="position: relative;">num[i]=e[i]−a[i]num[i]=e[i]−a[i]，代入原来的式子运算，会发现这是一道背包。b[i]−a[i]" role="presentation" style="position: relative;">b[i]−a[i]b[i]−a[i]是物品的数量限制，num[i]" role="presentation" style="position: relative;">num[i]num[i]是物品i" role="presentation" style="position: relative;">ii的选取数量限制，c[i]" role="presentation" style="position: relative;">c[i]c[i]则是物品的大小，然后就是背包了。

然而我们发现，这样子只有60" role="presentation" style="position: relative;">6060分。因此需要用一个叫做单调队列的东西进行优化。代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 210
#define M 100010
using namespace std;
int n,m,a[N],b[N],c[N],d[N],dp[M],ans,q[M],f[M],head,tail;
int main(){
    scanf("%d",&n),ans=m=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i],&d[i]);
        b[i]-=a[i];
        m-=a[i]*c[i];
        ans+=a[i]*d[i];
    }
    memset(dp,128,sizeof(dp));
    dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=0;j<c[i];++j){
            head=1,tail=0;
            for(int k=j;k<=m;k+=c[i]){
                if(head<=tail&&k-q[head]==(b[i]+1)*c[i])++head;
                while(head<=tail&&f[tail]+(k-q[tail])/c[i]*d[i]<=dp[k])--tail;
                q[++tail]=k,f[tail]=dp[k];
                dp[k]=f[head]+(k-q[head])/c[i]*d[i];
            }

        }
    printf("%d",ans+dp[m]);
    return 0;
}