Luogu 1220 关路灯(动态规划)

Description

某一村庄在一条路线上安装了n盏路灯,每盏灯的功率有大有小(即同一段时间内消耗的电量有多有少)。老张就住在这条路中间某一路灯旁,他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费,老张记录下了每盏路灯的位置和功率,他每次关灯时也都是尽快地去关,但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯,然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率,然后选择先关掉功率大的一边,再回过头来关掉另一边的路灯,而事实并非如此,因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为1m/s,每个路灯的位置(是一个整数,即距路线起点的距离,单位:m)、功率(W),老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序,使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少(灯关掉后便不再消耗电了)。

Input

文件第一行是两个数字n(0<n<50,表示路灯的总数)和c(1<=c<=n老张所处位置的路灯号);

接下来n行,每行两个数据,表示第1盏到第n盏路灯的位置和功率。

Output

一个数据,即最少的功耗(单位:J,1J=1W·s)。

Sample Input

5 3

2 10

3 20

5 20

6 30

8 10

Sample Output

270

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1220

Source

动态规划

解决思路

这个题目首先要想明白一点,就是如果从i走到j,那么i到j之间的等都是关掉了的。另外,如果关闭了i到j之间的灯,那么现在一定停在i处或j处。

因为如果不是这样的话就会浪费时间,而题目要求求最优解。

想明白了上面的两条后,推导出状态转移方程就相对好办啦。

我们设F[i][j]表示关闭i到j这一区间内的所有灯所消耗的最小功率,那么为了表示最后是停在那边,我们再加一维,F[i][j][0]表示最后停在左边i处,F[i][j][1]表示最后停在右边j处。

接下来我们来看一看如何推导出状态转移方程。

对于F[i][j],我们发现它可以从F[i+1][j]和F[i][j-1]推导过来,我们分别来看:

首先来看从F[i+1][j]推过来的情况



我们发现,老张可以从j走到i,也可以从i+1走到i,但不能从i+1走到j(因为这样并不能关掉i号灯),也不能从j走到(这样没有意义)。所以综上我们能从F[i+1][j][3]和F[i+1][j][2]推出F[i][j][0]

也就是这么走:



或者是这么走:



再来看看从F[i][j-1]推过来的情况



我们发现可以从i走到j,也可以从j-1走到j,所以我们可以从F[i][j-1][0]和F[i][j-1][1]推出F[i][j][1]

用图表示就是:







最后总结一下,状态转移方程就是:

\[F[i][j][0]=min\begin{cases} F[i+1][j][0]+(D[i+1]-D[i])*(Sum[n]-Sum[j]+Sum[i]) \\ F[i+1][j][1]+(D[j]-D[i])*(Sum[n]-Sum[j]+Sum[i])) \end{cases}
\]

\[F[i][j][1]=min\begin{cases}F[i][j-1][0]+(D[j]-D[i])*(Sum[n]-Sum[j-1]+Sum[i-1]) \\F[i][j-1][1]+(D[j]-D[j-1])*(Sum[n]-Sum[j-1]+Sum[i-1])) \end{cases}
\]

解释一下,Sum是为了方便处理剩余未关电灯的功率数而提前计算的前缀和,Sum[i]表示从1到i的所有电灯的功率之和,那么因为我们关掉的是i到j-1或i+1到j,所以我们只要通过前缀和计算减去这一部分就可以,但要注意i和j号灯是否被关闭,因为我们推导F[i][j][0]和F[i][j][1]时的转移方程不太一样,细节要注意。

另外就是要注意,循环时的循环初值和终值,虽然说F[i][j]必须包括老张出发时在的那盏灯,但为了动归转移时不会出现漏项,所以要处理一下,具体请看代码。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std; const int maxN=60;
const int inf=147483647; int n,C;
int F[maxN][maxN][3];
int Sum[maxN];
int D[maxN];
int P[maxN]; int main()
{
cin>>n>>C;
Sum[0]=0;//注意前缀和初始化
for (int i=0;i<=n;i++)
for (int j=0;j<=n;j++)
F[i][j][0]=F[i][j][1]=inf;//因为F要取最小,所以先置无穷大初值。
for (int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>D[i]>>P[i];
Sum[i]=Sum[i-1]+P[i];//输入的同时计算前缀和
}
F[C][C][1]=F[C][C][0]=0;//初值
for (int i=C;i>=1;i--)
for (int j=i+1;j<=n;j++)//注意这里j的循环开始值,不能是C+1,因为这样会使得后面推的时候出现未计算的项
{
F[i][j][0]=min(F[i+1][j][0]+(D[i+1]-D[i])*(Sum[n]-Sum[j]+Sum[i]),
F[i+1][j][1]+(D[j]-D[i])*(Sum[n]-Sum[j]+Sum[i]));
F[i][j][1]=min(F[i][j-1][0]+(D[j]-D[i])*(Sum[n]-Sum[j-1]+Sum[i-1]),
F[i][j-1][1]+(D[j]-D[j-1])*(Sum[n]-Sum[j-1]+Sum[i-1]));
//cout<<i<<" "<<j<<" "<<F[i][j][0]<<" "<<F[i][j][1]<<endl;
}
cout<<min(F[1][n][0],F[1][n][1])<<endl;
return 0;
}

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