RSA算法详解

1.RSA加密算法是最常用的非对称加密算法

2.RSARSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，

3.目前学术界无法证明RSA算法的绝对正确性，但是也无法证明否定它的安全性，因此恰恰说明该算法有相当的可信性。

4.RSA原理基于大数分解的难度，其公钥和私钥是一对大素数对的函数，从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数之积（这是公认的数学难题）

5.具体的加密，解密，流程

RSA的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：

需要明确的概念：

素数：即是质数，p,q必须互为质数（比如，5,7）

同余运算：，级C(mod n)= M^e(mod n)

6.应用举例

假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B，过程如下：

a.取两个较大的素数p,q

这里我们为了简单起见，取p=3,q=11，（当然如果实际应用中，p,q都是几百位以上的大素数）

b.计算n=p×q 和f(n)=(p-1)×（q-1）

令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；

f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；

c.确定公钥e 和私钥 d

取公钥e=3，（3与20互质）则e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20， 同余运算。

私钥 d怎样取值呢？可以用试算的办法来寻找，这里简单起见可以用这种方法，实际中肯定是用大型计算机（加密机计算）。试算结果见下表：

通过试算我们找到，当d=7时，e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。因此，可得出私钥为d=7。从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥（私钥）为：KR =(d,n)=(7,33)。

此时我们就已经得到了一对公私钥（e,d）和大素数积n(n=p×q，但是p,q要绝对保密)

（2）英文数字化。

将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：

则得到分组后的key的明文信息为：11，05，25。

（3）明文加密

用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。由C≡M^e(mod n)得：

C1 mod 33=11^3 mod (33)=11     =>  C1=11

C2 mod 33=5^3 mod (33)=26        =>C2=26

C3 mod 33=25^3 mod (33)=16      =>C3=16

因此可得到加密后的密文为 11 26 16

（4）密文解密。

用解密密钥（7,33）将受到的密文解密成明文，M≡C^d(mod n)

M1 mod 33 = 11^7 mod(33) =11    => M1=11

M2 mod 33 =26^7 mod(33)= 5       =>M2=5

M3 mod 33 = 16^7 mod (33) =25    =>M3=25

可见解密出的明文与原来的一致，整个RSA加解密过程结束

当然，实际运用要比这复杂得多，由于RSA算法的公钥私钥的长度（模长度）要到1024位甚至2048位才能保证安全，因此，p、q、e的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。

在RSA密码应用中，公钥KU是被公开的，即e和n的数值可以被第三方窃听者得到。破解RSA密码的问题就是从已知的e和n的数值（n等于pq），想法求出d的数值，这样就可以得到私钥来破解密文。从上文中的公式：d ≡e-1 (mod((p-1)(q-1)))或de≡1 (mod((p-1)(q-1))) 我们可以看出。密码破解的实质问题是：从Pq的数值，去求出(p-1)和(q-1)。换句话说，只要求出p和q的值，我们就能求出d的值而得到私钥。

当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。比如当pq大到1024位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。因此，RSA从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。

然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。

此外，RSA的缺点还有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。因此，使用RSA只能加密少量数据，大量的数据加密还要靠对称密码算法。