计算系数

题目描述

给定一个多项式(ax + by)k,请求出多项式展开后xn ym项的系数。

【数据范围】

对于 30%的数据,有0≤k≤10;

对于 50%的数据,有a = 1,b = 1;

对于 100%的数据,有0≤k≤1,000,0≤n, m≤k,且n + m = k,0≤a,b≤1,000,000。

输入格式

共一行,包含 5 个整数,分别为a,b,k,n,m,每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出共 1 行,包含一个整数,表示所求的系数,这个系数可能很大,输出对10007 取

模后的结果。

输入输出样例】
factor.in      
 factor.out
1 1 3 1
2       
3

下面是某网友的代码:

来源:http://blog.sina.com.cn/s/blog_78aa51270100vqaz.html

#01: Accepted (0ms, 4184KB)
#02: Accepted (0ms, 4184KB)
#03: Accepted (0ms, 4184KB)
#04: Accepted (0ms, 4184KB)
#05: Accepted (0ms, 4184KB)
#06: Accepted (0ms, 4184KB)
#07: Accepted (0ms, 4184KB)
#08: Accepted (0ms, 4184KB)
#09: Accepted (0ms, 4184KB)
#10: Accepted (0ms, 4184KB)

Accepted / 100 / 0ms
/ 4184KB

解题报告:简单的递推而已。注意取模的位置就好了。不解释了。
 #include<stdio.h>
#define rep(i,n) for(i=1;i<=n;i++)
const int mo=;
int a,b,k,n,m,i,j;
int f[][];
int main(){
//freopen("factor.in","r",stdin);
//freopen("factor.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
a%=mo;b%=mo;f[][]=;
rep(i,n) f[i][]=(f[i-][]*a)%mo;
rep(i,m) f[][i]=(f[][i-]*b)%mo;
rep(i,n) rep(j,m) f[i][j]=(f[i-][j]*a + f[i][j-]*b)%mo;
printf("%d\n",f[n][m]);
//system("pause");
//fclose(stdin);
//fclose(stdout);
return ;
}

----------------------------------另一网友的分析--------------------------------------------------------

http://blog.sina.com.cn/s/blog_606a23dd010128lo.html

这道题虽然出现在提高组,却并不一定只能用高中知识解决。
其实,这道题可以用递推解决。【个人感觉下面这段分析描述不是很对。可以直接跳过到最后面的分析。】
设f[i][j]为(ax+by)^i的x^j*y^(n-j)的系数。显然可以得到公式:

f[i][j]=(f[i-1][j-1]*a+f[i-1][j]*b)007。
时间复杂度O(N^2)

 #include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define mod 10007
int a,b,n,m,k,i,j,f[][];
int main()
{
scanf("%d %d %d %d %d",&a,&b,&k,&n,&m);
a%=mod,b%=mod;
f[][]=b,f[][]=a;
for(i=;i<=k;i++)
for(j=;j<=i&&j<=n;j++)
{
f[i][j]=f[i-][j]*b%mod;
if(j)
f[i][j]=(f[i][j]+f[i-][j-]*a)%mod;
}
printf("%d\n",f[k][n]);
return ;
}
 
===================================================================================
下面是我自己的理解:
 
前面第一位的程序是对的,就是写代码的方式有些绕,而且分析少了一点。结合了第二位的分析,感觉第二位的分析描述没对。
假设f[i][j]表示(ax+by)^n的展开式中某一项x^i*y^j 的系数,其中i+j==n。
那么,x^i*y^j 可以由两种方案来递归构造:
(1).   x^i*y^j= x^(i-1)*y^j*x
(2).   x^i*y^j= x^i*y^(j-1)*y
把上面的x和y分别替换为ax和by,那就容易知道 f[i][j]=f[i-1][j]*a+f[i][j-1]*b
于是,我们可以构造一个二维数组f[][]来递推f[n][m]的值。递推的方法和上面第一个网友的代码一样。
第一个for是构造二维数组的第0列:
接着第二个for是构造二维数组的第0行:
接着用一个二重循环递推构造了整个二维数组,直至计算出f[n][m]的值。
最后即可直接输出f[n][m]。
 
还无法理解这个过程的可以自己用(ax+by)^2分析一下。
 

 #include<stdio.h>
const int mo=;
int a,b,k,n,m,i,j;
int f[][];
int main()
{
freopen("factor.in","r",stdin);
freopen("factor.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
a%=mo;b%=mo;f[][]=;
for(i=;i<=n;i++) f[i][]=(f[i-][]*a)%mo;
for(i=;i<=m;i++) f[][i]=(f[][i-]*b)%mo;
for(i=;i<=n;i++)
{
for(j=;j<=m;j++)
f[i][j]=(f[i-][j]*a + f[i][j-]*b)%mo;
}
printf("%d\n",f[n][m]);
return ;
}
 
 
 
 
 
 

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