BZOJ 3143 HNOI2013 游走 高斯消元 期望

这道题是我第一次使用高斯消元解决期望类的问题，首发A了，感觉爽爽的....

不过笔者在做完后发现了一些问题，在原文的后面进行了说明。

中文题目，就不翻大意了，直接给原题：

　　一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。

　　小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。

　　现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

　　输出最小的总分期望值。

Solution:

　　这题贪心很明显，哪条边走过次数的期望最大，它就应该获得最小的编号。

　　所以假设我们已经求出了每条边走过的期望，我们就可以给它们并编上号了。

　　怎么算出每条边走过的期望呢？

　　每条边连接着两个点u,v，很明显的，当我们经过这条边，一定是从两个点中的某一个进入。

　　所以走过边l的期望=走过u点的期望次数*从u点走到l上的概率+走过v点的期望次数*从v点走到l上的概率 （其中从i点走到它连接边的概率为1/d[i]，d[i]为i的度数）

　　即：E[l]=e[u]/d[u]+e[v]/d[v]

　　可是我们只知道e[n]=0。但我们还知道这些点之间哪些是连通的，从而可以得出它们之间的关系：

　　

　　我们就可以利用这些点之间的关系建立起方程组，从而使用高斯消元求解。

　　别忘了，点求解完还要带回到每条边上去哦....

　　

　　附Bzoj上的AC代码（codevs上过不了...我也不知道为什么...）

　　

 /*
   Problem : Bzoj 3143 概率 & 高斯消元
   Author : Robert Yuan
   Memory : 15604 kb
   Time : 628 MS
   Result : Accept
 */
 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <algorithm>

 using namespace std;

 #define maxn 520

 struct Node{
     int data,next;
 }node[maxn*maxn<<];

 struct Edge{
     int u,v;
     double w;
 }edge[maxn*maxn<<];

 #define now node[point].data
 #define then node[point].next

 int n,m,cnt;
 int head[maxn],deg[maxn];
 const double eps=1e-;
 double w[maxn][maxn],rec_x[maxn],ans;

 bool cmp(const Edge A,const Edge B){
     return A.w>B.w;
 }

 inline int in(){
     int x=;char ch=getchar();
     while(ch>'' || ch<'') ch=getchar();
     while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
     return x;
 }

 void add(int u,int v){
     node[++cnt].data=v;node[cnt].next=head[u];deg[u]++;head[u]=cnt;
     node[++cnt].data=u;node[cnt].next=head[v];deg[v]++;head[v]=cnt;
 }

 void prework(){
     n=in();m=in();
     int u,v;
     for(int i=;i<=n;i++) head[i]=-;
     for(int i=;i<=m;i++)
         u=in(),v=in(),edge[i].u=u,edge[i].v=v,add(u,v);
     int point;
     for(int i=;i<=n;i++){
         w[i][i]=;
         point=head[i];
         while(point!=-){
             w[i][now]=-(double)/deg[now];
             point=then;
         }
     }
     w[][n+]=;
 }

 void Swap(int i,int j,int x){
     double t;
     for(int k=x+;k<=n+;k++)
         t=w[i][k],w[i][k]=w[j][k],w[j][k]=t;
 }

 void gauss(){
     int i,j;
     for(i=,j=;i<=n && j<=n;i++,j++){
         int max_r=i;
         for(int k=i+;k<=n;k++)
             if(fabs(w[max_r][j])+eps<fabs(w[k][j]))
                 max_r=k;
         if(fabs(w[max_r][j])<eps){i--;continue;}
         if(max_r!=i) Swap(i,max_r,j);
         for(int k=i+;k<=n;k++){
             double rate=w[k][j]/w[i][j];
             w[k][j]=;
             for(int l=j+;l<=n+;l++)
                 w[k][l]-=w[i][l]*rate;
         }
     }

     for(int i=n;i>=;i--)
         if(fabs(w[i][i])>eps){
             double ans_c=w[i][n+];
             for(int k=i+;k<=n;k++)
                 ans_c-=w[i][k]*rec_x[k];
             rec_x[i]=ans_c/w[i][i];
         }
 }

 void mainwork(){
     gauss();
     for(int i=;i<=m;i++){
         edge[i].w=rec_x[edge[i].u]/deg[edge[i].u]+rec_x[edge[i].v]/deg[edge[i].v];
     }
     sort(edge+,edge+m+,cmp);
     for(int i=;i<=m;i++)
         ans+=edge[i].w*i;
     printf("%.3lf",ans);
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("x.in","r",stdin);
 #endif
     prework();
     mainwork();
     return ;
 }

[以下是笔者后来发现的问题]

　　首先感谢某位不愿意透露姓名的人堆同学复制了我的代码，然后代入了样例，结果：

　　

　　然后第三行是无解？可是答案却能跑出来...于是我傻了...开始胡乱吹逼[毕竟这么久没打了...]

　　

　　好吧，然后各种逼都被打败了...(●—●)

　　只能认真看看到底出了什么问题，于是发现这个式子有奥妙：

　　

　　左边的e[i]表示走到i点的期望，右边的e[j]表示走出j点的期望。

　　“走到”和“走出”却并不是一样的！

　　我们设e[i]表示走到i点的概率,e'[i]表示走出i点的概率。

　　如果说i!=n那么走到就能走出,e[i]=e'[i]；

　　如果i==n那么就有e'[n]=0,e[n]=1他们俩不同...尽管都已知，而我们列式子的时候，将e'[n]作为未知数带进别的点的式子里，但在n自己的式子中却用的是e[n]，导致两个变量混淆。

　　所以鉴于e'[n]=0，就将建立方程部分修改了一下：

　　

　　于是现在的式子就发生了变化，最后化出来的矩阵也变成了正常的样子：

　　

　　这样解出来的就是e[n]是到达n点的期望=1，当然在给边设定权值的时候，我们用的都是e'[i]，所以我们手动修改一下e'[n]=0就好了...

　　下面是修改过后的代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define maxn 520

struct Node{
    int data,next;
}node[maxn*maxn<<];

struct Edge{
    int u,v;
    double w;
}edge[maxn*maxn<<];

#define now node[point].data
#define then node[point].next

int n,m,cnt;
int head[maxn],deg[maxn];
const double eps=1e-;
double w[maxn][maxn],rec_x[maxn],ans;

bool cmp(const Edge A,const Edge B){
    return A.w>B.w;
}

inline int in(){
    int x=;char ch=getchar();
    while(ch>'' || ch<'') ch=getchar();
    while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return x;
}

void add(int u,int v){
    node[++cnt].data=v;node[cnt].next=head[u];deg[u]++;head[u]=cnt;
    node[++cnt].data=u;node[cnt].next=head[v];deg[v]++;head[v]=cnt;
}

void prework(){
    n=in();m=in();
    int u,v;
    for(int i=;i<=n;i++) head[i]=-;
    for(int i=;i<=m;i++)
        u=in(),v=in(),edge[i].u=u,edge[i].v=v,add(u,v);
    int point;
    for(int i=;i<=n;i++){
        w[i][i]=;
        point=head[i];
        while(point!=-){
            if(now!=n) w[i][now]=-(double)/deg[now];
            else w[i][now]=;
            point=then;
        }
    }
    w[][n+]=;
}

void Swap(int i,int j,int x){
    double t;
    for(int k=x+;k<=n+;k++)
        t=w[i][k],w[i][k]=w[j][k],w[j][k]=t;
}

void gauss(){
    int i,j;
    for(i=,j=;i<=n && j<=n;i++,j++){
        int max_r=i;
        for(int k=i+;k<=n;k++)
            if(fabs(w[max_r][j])+eps<fabs(w[k][j]))
                max_r=k;
        if(fabs(w[max_r][j])<eps){i--;continue;}
        if(max_r!=i) Swap(i,max_r,j);
        for(int k=i+;k<=n;k++){
            double rate=w[k][j]/w[i][j];
            w[k][j]=;
            for(int l=j+;l<=n+;l++)
                w[k][l]-=w[i][l]*rate;
        }
    }

    for(int i=n;i>=;i--)
        if(fabs(w[i][i])>eps){
            double ans_c=w[i][n+];
            for(int k=i+;k<=n;k++)
                ans_c-=w[i][k]*rec_x[k];
            rec_x[i]=ans_c/w[i][i];
        }
    rec_x[n]=;
}

void mainwork(){
    gauss();
    for(int i=;i<=m;i++){
        edge[i].w=rec_x[edge[i].u]/deg[edge[i].u]+rec_x[edge[i].v]/deg[edge[i].v];
    }
    sort(edge+,edge+m+,cmp);
    for(int i=;i<=m;i++)
        ans+=edge[i].w*i;
    printf("%.3lf",ans);
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("x.in","r",stdin);
#endif
    prework();
    mainwork();
    return ;
}

最后再次鸣谢人堆同学提出的问题，有问题才有进步嘛，欢迎大家提问哦...