Longest Common Subsequence (LCS)

最长公共子序列（LCS）是经典的DP问题，求序列a[1...n]， b[1..m]的LCS。

状态是DP[i][j]，表示a[1..i]，b[1..j]的LCS。

DP转移方程是

DP[i][j]=

　　DP[i-1][j-1]+1,　　a[i] == b[j]

　　max{ DP[i][j-1], DP[i-1][j] },　　a[i] != b[i] 

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时间复杂度O(N^2)，空间复杂度0（N^2)。

使用滚动数组，可将空间复杂度降到 0(N)。

观察DP转移方程可看出，即使用滚动数组，也需要两个即DP[2][N]，一个DP[N]行不通。

因为若只用一维数组DP[N]来保存状态，第一个式子要求从右向左更新，第二个式子要求从左向右更新。

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以上关于用滚动数组降低空间复杂度的论述有误

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实际上只用一维数组DP[N]也可以。严格地说，上面的论述并没有错，若严格按照

DP[i][j]=

　　DP[i-1][j-1]+1,　　a[i] == b[j]

　　max{ DP[i][j-1], DP[i-1][j] },　　a[i] != b[i] 

来转移，一个DP[N]确实不够，但我们深入分析下一开始的论据--"第一个式子要求从右向左更新",

如果第一式也从左向右更新，那么在需要DP[i-1][j-1]时，它已被DP[i][j-1]覆盖。

自然地，我们考虑把DP[i-1][j-1]单独存起来，问题就解决了。

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还有一种思路，我们略微变通一下，将第一个转移方程改为

DP[i][j] = max{ DP[i-1][k] : k < j } +1

这样只要在从左到右更新时维护一个max{ DP[i-1][k] : k < j }。

而DP[i-1][k] >= DP[i-1][k-1] (k >=1)，所以实际上只要在计算DP[i][j]之前，把DP[i-1][j]存起来以备查询。

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伪代码

FOR i ：= 0 to n

　　dp[i] ：= 0

END FOR

FOR i := 1 to n

　　tmp := dp[0]

　　FOR j := 1 to m

　　　　IF a[i] = b[j]

　　　　　　IF tmp = dp[j]

　　　　　　　　dp[j] := tmp + 1

　　　　　　ELSE

　　　　　　　　tmp ：= dp[j]

　　　　　　END IF

　　　　ELSE

　　　　　　tmp ：= dp[j]

　　　　　　dp[j] ：= max{dp[j], dp[j-1]}

　　　　END IF

　　END FOR

END FOR