【uva 10294】 Arif in Dhaka (First Love Part 2) （置换，burnside引理|polya定理）

题目来源：UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2)

题意：n颗珠子t种颜色 求有多少种项链和手镯 项链不可以翻转 手镯可以翻转

　　【分析】

　　要开始学置换了。

　　置换是什么呢？ 

置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义：

在集合论中，一个集合的置换是从该集合映至自身的双射；在有限集的情况，便与上述定义一致。

在组合数学中，置换一词的传统意义是一个有序序列，其中元素不重复，但可能有阙漏。例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换，但是其中不含5,6。此时通常会标明为“从n个对象取r个对象的置换”。

 

 

　　置换的乘法：

　　f={1,3,2} g={2,1,3} f*g={2,3,1}

　　计算过程是 1->1->2, 2->3->3 , 3->2->1 。

　　

　　置换的循环移位  （1 4 3）表示1->4, 4->3, 3->1。

　　比如 （1 2 3 4 5）

            （3 5 1 4 2） =（1 3）（2 5）（4）

　　循环节为3.

 

　　等价类计数问题

　　题目定义一种等价关系，满足等价关系的元素被看成是同一类，只统计一次。等价关系满足自反性、对称性、传递性。

　　　

　　burnside引理

　　对于一个置换f，若一个着色方案s经过置换后不变，称s为f的不动点。（即循环里面只有一个元素）

　　将f的不动点数目记为C(f),则可以证明等价类数目为所有C（f）的平均值。

 

　　这题用到burnside引理或polya定理。（polya定理可以用burnside引理证明）

 

　　本题：

　　旋转：

　　　　如果逆时针旋转i颗珠子的间距，那么珠子0，i，2*i...构成一个循环。这个循环有n/gcd（i，n）个元素，根据对称性，所有循环长度均相同，因此一共有gcd（i,n）个循环。这些置换的不动点总数为a=sigma（t^gcd(i,n)）。

 

　　翻转：

　　　　分两种情况讨论。当n为奇数时，对称轴有n条，。。。。不动点总数为$n*t$^$\dfrac{n+1}{2}$

　　　　当n为偶数是时，有两种对称轴，一共n条，。。。。不动点总数为$\dfrac{n}{2}*(t$^$(\dfrac{n}{2}+1)+t$^$\dfrac{n}{2})$

 

　　加起来求均值即可。

 

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define Maxn 60
 #define LL long long
 
 LL pw[];
 
 int gcd(int a,int b)
 {
     if(b==) return a;
     return gcd(b,a%b);
 }
 
 int main()
 {
     int n,t;
     while(scanf("%d%d",&n,&t)!=EOF)
     {
         pw[]=;
         for(int i=;i<=n;i++) pw[i]=pw[i-]*t;
         LL a=;
         for(int i=;i<n;i++) a+=pw[gcd(i,n)];
         LL b=;
         if(n%==) b=n*pw[(n+)/];
         else b=n/*(pw[n/+]+pw[n/]);
         printf("%lld %lld\n",a/n,(a+b)//n);
     }
     return ;
 }

　　其实觉得这题的数据范围过不了啊，不是10^50了么？？？？

　　为什么大家都这样打？？

2017-01-11 11:18:14