矩阵乘法 and BIOS loads MBR into 0x7C00?

tianpeng 《再谈矩阵与矩阵乘法》 讲的也好

矩阵乘矩阵

这个结果是怎么算出来的？

第一个矩阵第一行的每个数字（2和1），各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（1和1），然后将乘积相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到结果矩阵左上角的那个值3。

也就是说，结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。

怎么会有这么奇怪的规则？

矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度，理解矩阵乘法就毫无难度。

下面是一组线性方程式。

矩阵的最初目的，只是为线性方程组提供一个简写形式。

老实说，从上面这种写法，已经能看出矩阵乘法的规则了：系数矩阵第一行的2和1，各自与 x 和 y 的乘积之和，等于3。不过，这不算严格的证明，只是线性方程式转为矩阵的书写规则。

下面才是严格的证明。有三组未知数 x、y 和 t，其中 x 和 y 的关系如下。

x 和 t 的关系如下。

有了这两组方程式，就可以求 y 和 t 的关系。从矩阵来看，很显然，只要把第二个矩阵代入第一个矩阵即可。

从方程式来看，也可以把第二个方程组代入第一个方程组。

上面的方程组可以整理成下面的形式。

最后那个矩阵等式，与前面的矩阵等式一对照，就会得到下面的关系。

矩阵乘法的计算规则，从而得到证明。

下图更好说明了矩阵BA的过程（引用自tianpeng)

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X86 主引导记录的内存地址是0x7C00

启动时，主引导记录会存入内存地址0x7C00。

这个奇怪的地址，是怎么来的，课本就不解释了。我一直有疑问，为什么不存入内存的头部、尾部、或者其他位置，而偏偏存入这个比 32KB 小1024字节的地方？

计算机启动后，32KB内存的使用情况如下。

+--------------------- 0x0
| Interrupts vectors
+--------------------- 0x400
| BIOS data area
+--------------------- 0x5??
| OS load area
+--------------------- 0x7C00
| Boot sector
+--------------------- 0x7E00
| Boot data/stack
+--------------------- 0x7FFF
| (not used)
+--------------------- (...)

计算机启动是这样一个过程。

1. 通电
2. 读取ROM里面的BIOS，用来检查硬件
3. 硬件检查通过
4. BIOS根据指定的顺序，检查引导设备的第一个扇区（即主引导记录），加载在内存地址 0x7C00
5. 主引导记录把操作权交给操作系统

主引导记录就是引导"操作系统"进入内存的一段小程序，大小不超过1个扇区（512字节）。

0x7C00这个地址来自Intel的第一代个人电脑芯片8088，以后的CPU为了保持兼容，一直使用这个地址。

1981年8月，IBM公司最早的个人电脑IBM PC 5150上市，就用了这个芯片。

当时，搭配的操作系统是86-DOS。这个操作系统需要的内存最少是32KB。我们知道，内存地址从0x0000开始编号，32KB的内存就是0x0000～0x7FFF。

8088芯片本身需要占用0x0000～0x03FF，用来保存各种中断处理程序的储存位置。（主引导记录本身就是中断信号INT 19h的处理程序。）所以，内存只剩下0x0400～0x7FFF可以使用。

为了把尽量多的连续内存留给操作系统，主引导记录就被放到了内存地址的尾部。由于一个扇区是512字节，主引导记录本身也会产生数据，需要另外留出512字节保存。所以，它的预留位置就变成了：

  0x7FFF - 512 - 512 + 1 = 0x7C00

0x7C00就是这样来的。

"0x7C00" First appeared in IBM PC 5150 ROM BIOS INT 19h handler.

Wandering arround the history of x86 IBM Compatible PC, you knowIBM PC 5150 is the ancestor of modern x86(32bit) IBM PC/AT Compatible PCs. 
This PC was released at 1981 August, with Intel 8088(16bit) and 16KiB RAM(for minimum memory model). BIOS and Microsoft BASIC was stored in ROM.

When power on, BIOS processes "POST"(Power On Self Test) procedure, and after, call INT 19h. 
In INT 19h handler, BIOS checks that PC has any of floppy/hard/fixed diskette or not have. 
If PC has any of available diskkete, BIOS loads a first sector(512B) of diskette into 0x7C00.

Now, you understand why you couldn't find out this magic number in x86 documents. This magic number belongs to BIOS 

Q:Who decided "0x7C00" ?    - A: IBM PC 5150 BIOS Developer Team.

"0x7C00" was decided by IBM PC 5150 BIOS developer team (Dr. David Bradley). 
As mentioned above, this magic number was born at 1981 and "IBM PC/AT Compat" PC/BIOS vendors did not change this value for BIOS and OS's backward compatibility.

Not Intel(8086/8088 vendor) nor Microsoft(OS vendor) decided it.

Once OS loaded and started, boot sector is never used until power reset. So, OS and application can use the last 1024B of 32KiB freely