题解 [HAOI2007]分割矩阵

% 你赛考到了，看到如此之小的数据范围，想到考前每次都被状压 dp 吊起来打的惨痛经历，第一反应就是状压。

然后发现横竖切这个不太好记录就摆了去看 T2，然后没想到这么简单。

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令 \(f_{a, b, c, d, k}\) 为左上角坐标为 \((a, b)\) 右下角坐标为 \((c, d)\) 的切成 \(k\) 个的方案数 \(\sum\limits (x_i - \bar{x})^2\) 最小值。不除以 \(n\) 然后开根是因为 \(n\) 是定值开根不会对大小造成影响。

考虑转移，以行为例，我们每次要枚举要切的那一条线以及给每个矩阵分配的块数，显而易见是 \(f_{a, b, c, d, k} = \min\limits_{j = 1}^{k - 1}\{f_{a, b, i, d, j} + f_{i + 1, b,c, d, k - j}\}\) 其中 \(i\) 是任意 \([a, c)\) 里面的整数，代表我们切的线。

列同理。

考虑边界问题，当 \(k = 1\) 时就返回这个矩阵所有数字之和减去平均数的平方，平均数是个定值。

然后就记忆化搜索。

总的来说这题并不大难 qwq

然后还在往状压想并且摆烂题目的 SX 是屑（悲

//SIXIANG
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#define MAXN 100000
#define QWQ cout << "QWQ" << endl;
using namespace std;
double f[20][20][20][20][20];
double a[20][20], sum[20][20];
double chu = 0;
int k, n, m;

double sq(double x) {
	return x * x;
}
double ss(int a, int b, int c, int d) {
	return sum[c][d] - sum[a - 1][d] - sum[c][b - 1] + sum[a - 1][b - 1];
}
double pika(int a, int b, int c, int d, int k) {
	if(k == 1) return sq(ss(a, b, c, d) - chu);
	if(f[a][b][c][d][k]) return f[a][b][c][d][k];
	double minn = 1145141919;
	for(int p = a; p < c; p++)
		for(int j = 1; j < k; j++)
			minn = min(minn, pika(a, b, p, d, j) +
							 pika(p + 1, b, c, d, k - j));
	for(int p = b; p < d; p++)
		for(int j = 1; j < k; j++)
			minn = min(minn, pika(a, b, c, p, j) +
							 pika(a, p + 1, c, d, k - j));
	f[a][b][c][d][k] = minn;
	return minn;
}
int main() {
	cin >> n >> m >> k;
	for(int p = 1; p <= n; p++)
		for(int i = 1; i <= m; i++)
			cin >> a[p][i];
	int rest = 0;
	for(int p = 1; p <= n; p++) {
		rest = 0;
		for(int i = 1; i <= m; i++)
			rest += a[p][i], sum[p][i] = (sum[p - 1][i] + rest);
	}
	chu = sum[n][m] / (double(k));
	cout << fixed << setprecision(2) << sqrt(pika(1, 1, n, m, k) / double(k)) << endl;
}