P1848 [USACO12OPEN]Bookshelf G

简要题意

给你 \(N\) 本书 \((h_i,w_i)\)，你要将书分成任意段（顺序不能改变），使得每一段 \(j\) 中 \(\sum\limits_{i \in j} w_i \leq L\)，段 \(j\) 的代价为 \(\max\limits_{i \in j}{h_i}\)。你需要输出每一段的代价之和的最小值。

\(1 \leq N \leq 10^{5}\)

思路

朴素 DP 思路

设 \(f_i\) 为前 \(i\) 本书的代价和。则：

\[\begin{aligned}
& W(i,j) = \sum_{k=i}^{j}{w_k} \\
& H(i,j) = \max_{k=i}^{j}{h_k} \\
& f_i = \min_{W(j,i) \leq L}{(f_{j-1} + H(j,i))}
\end{aligned}
\]

解释：将 \([j,i]\) 中的书放在合并，然后成为一个新的段。

时间复杂度 \(O(n^3)\)。经过前缀和优化后 \(O(n^2)\)，无法通过本题。

代码如下：

for(int i=1;i<=n;i++){
	dp[i]=0x7f7f7f7f7fll;
	sum[i]=sum[i-1]+w[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
	mn=INT_MIN;
	for(int j=i;j>0;j--){
		mn=max(mn,h[j]);
		if(sum[i]-sum[j-1]<=m){
			dp[i]=min(dp[i],dp[j-1]+mn);
		}
		else{
			break;
		}
	}
}
cout<<dp[n];

喜提 \(69\operatorname{pts}\)

DP 优化

首先，最后一个满足 \(W(j,i) \leq l\) 的 \(j\) 是可以二分得出的（因为题目中 \(w\) 的前缀和是单调不降的）。我们姑且设其为 \(p_i\)，则：

\[f_i = \min_{p_i}^{i}{(f_{j-1} + H(j,i))}
\]

另外我们设 \(l_i\) 为左边第一个满足 \(h_j>h_i\) 的 \(j\)，即：

\[l_i = \max_{j=1}^{n}{(j \cdot [h_j > h_i])}
\]

那么如果 \(l_i \lt j \leq i\)，则 \(H(j,i)=h_i\)，只需要找到最小的 \(f_{j-1}\)即可。至于其他的，就用继承下来的。这是正确的。

这道题没法 ODT，老老实实的线段树。

代码

耗时最长的一道题祭

#include <bits/stdc++.h>
#define ls (i<<1)
#define rs (i<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
#define int long long
using namespace std;

int f,n,l,h[100005],w[100005],sumw[100005];

namespace sgt{
	struct node{
		int f,fh,tag;
	} t[400005];
	void pushup(int i){
		t[i].f=min(t[ls].f,t[rs].f);
		t[i].fh=min(t[ls].fh,t[rs].fh);
	}
	void pushdown(int i){
		if(t[i].tag!=(-1e9)){
			t[ls].fh=t[ls].f+t[i].tag;
			t[rs].fh=t[rs].f+t[i].tag;
			t[ls].tag=t[i].tag;
			t[rs].tag=t[i].tag;
			t[i].tag=(-1e9);
		}
	}
	void build(int i,int l,int r){
		if(l==r){
			t[i].fh=LLONG_MAX;
			t[i].f=t[i].fh;
			t[i].tag=(-1e9);
			return;
		}
		build(ls,l,mid);
		build(rs,mid+1,r);
		pushup(i);
	}
	void init(int p,int i,int l,int r){
		if(l==r){
			t[i].fh=LLONG_MAX;
			t[i].f=f;
			return;
		}
		pushdown(i);
		if(p<=mid){
			init(p,ls,l,mid);
		}
		else{
			init(p,rs,mid+1,r);
		}
		pushup(i);
	}
	void assign(int ql,int qr,int k,int i,int l,int r){
		if(ql<=l&&r<=qr){
			t[i].fh=t[i].f+k;
			t[i].tag=k;
			return;
		}
		pushdown(i);
		if(ql<=mid){
			assign(ql,qr,k,ls,l,mid);
		}
		if(mid<qr){
			assign(ql,qr,k,rs,mid+1,r);
		}
		pushup(i);
	}
	int get(int ql,int qr,int i,int l,int r){
		if(ql<=l&&r<=qr){
			return t[i].fh;
		}
		pushdown(i);
		int ret=LLONG_MAX;
		if(mid>=ql){
			ret=min(ret,get(ql,qr,ls,l,mid));
		}
		if(mid<qr){
			ret=min(ret,get(ql,qr,rs,mid+1,r));
		}
		return ret;
	}
}

stack<int> sta;
int lft[100005];

signed main(){
	cin>>n>>l;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>h[i]>>w[i];
		sumw[i]=sumw[i-1]+w[i];
	}
	h[0]=INT_MAX;sta.push(0);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(!sta.empty()&&h[i]>h[sta.top()]){
			sta.pop();
		}
		lft[i]=sta.top();
		sta.push(i);
	}
	sgt::build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
//		cout<<"INIT "<<i<<'\n';
		sgt::init(i,1,1,n);
//		cout<<"ASSIGN "<<i<<'\n';
		sgt::assign(lft[i]+1,i,h[i],1,1,n);
//		cout<<"LOWERBOUND "<<i<<'\n';
		int ll = lower_bound(sumw,sumw+i+1,sumw[i]-l)-sumw;
		if(ll<i){
			f=sgt::get(ll+1,i,1,1,n);
		}
	}
	cout<<f;
}