题意:

有 $n$ 个包,设计最少的物品体积(可重集),使得

1. 对于任意一个总体积不超过给定 $m$ 的物体集合有其体积和 恰好等于一个包的容量。

2.对于每一个包,存在一个物品集合能恰好装满它。

解法:

考虑对于包的容量集合建立多项式 $A(x)$

注意到显然答案中的物品体积取自 $n$ 个包的容量。

那么根据题意有 条件2 <-> [$A(x)$中系数i为零 ->  $A^2(x)$ 中系数i为零]

proof : 在只考虑系数是否为零的合法情况下,$A^k(x)$ 随着 $k$ 的增大而变小。

从而有取出 $A^2$ 相对 $A$ 所有丢失的项作为答案即可。

#include <bits/stdc++.h>

#define PI acos(-1)

const int N = ;

using namespace std;

struct EX
{
double real,i;
EX operator+(const EX tmp)const{return (EX){real+tmp.real, i+tmp.i};};
EX operator-(const EX tmp)const{return (EX){real-tmp.real, i-tmp.i};};
EX operator*(const EX tmp)const{return (EX){real*tmp.real - i*tmp.i, real*tmp.i + i*tmp.real};};
}; int R[N<<]; void DFT(EX a[],int n,int tp_k)
{
for(int i=;i<n;i++) if(i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
for(int d=;d<n;d<<=)
{
EX wn = (EX){cos(PI/d), sin(PI/d)*tp_k};
for(int i=;i<n;i += (d<<))
{
EX wt = (EX){,};
for(int k=;k<d;k++, wt = wt*wn)
{
EX A0 = a[i+k], A1 = wt * a[i+k+d];
a[i+k] = A0+A1;
a[i+k+d] = A0-A1;
}
}
}
if(tp_k==-)
for(int i=;i<n;i++) a[i] = (EX){a[i].real/n, a[i].i/n};
} int n,m,a[N],b[N],ans[N];
EX A[N<<];
bool v[N],flag[N];
bitset<N> f; int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
m++;
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]), v[a[i]]=;
int L = ,tot;
while((<<L)<m+m) L++;
tot = (<<L);
for(int i=;i<tot;i++) R[i]=(R[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
for(int i=;i<=n;i++) A[a[i]] = (EX){,};
DFT(A,tot,);
for(int i=;i<tot;i++) A[i] = A[i]*A[i];
DFT(A,tot,-);
bool ansv = ;
int t = ;
for(int i=;i<m;i++)
{
if(A[i].real>0.5 && !v[i]) ansv = ;
else if(v[i] && A[i].real<0.5) b[++t] = i;
}
if(!ansv) puts("NO");
else
{
puts("YES");
printf("%d\n",t);
for(int i=;i<=t;i++) printf("%d ",b[i]);
printf("\n");
}
return ;
}

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