openjudge-膨胀的木棍

http://noi.openjudge.cn/ch0111/09/

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描述

当长度为L的一根细木棍的温度升高n度，它会膨胀到新的长度L'=(1+n*C)*L，其中C是热膨胀系数。

当一根细木棍被嵌在两堵墙之间被加热，它将膨胀形成弓形的弧，而这个弓形的弦恰好是未加热前木棍的原始位置。

你的任务是计算木棍中心的偏移距离。

输入

三个非负实数：木棍初始长度（单位：毫米），温度变化（单位：度），以及材料的热膨胀系数。
保证木棍不会膨胀到超过原始长度的1.5倍。

输出

木棍中心的偏移距离（单位：毫米），保留到小数点后第三位。

样例输入

1000 100 0.0001

样例输出

61.329

参考：

http://blog.csdn.net/jeremygjy/article/details/49686943

http://blog.csdn.net/txl199106/article/details/49332261

 #include<stdio.h>
 #include<math.h>
 #define PI (acos(-1))
 #define eps (1e-14)
 int main(int argc, char *argv[])
 {
     double L,n,C,L1;

     double minCentralAngle,maxCentralAngle,CentralAngle;
     double radius,L2;
     double ans;

     scanf("%lf%lf%lf",&L,&n,&C);

     if(n*C*L<=eps)   //假如膨胀量太小就不用计算了，直接认为结果就是0.
     {
         printf("0.000\n");
         return ;
     }

     L1=(+n*C)*L;

     //下面对圆心角进行二分枚举
     //（膨胀量不超过原来的1.5倍，
     //分析圆的半周长PI*R与直径2*R的关系可知圆心角范围0~2*PI而且不可能取2*PI）
     minCentralAngle=;//圆心角的极小值
     maxCentralAngle=PI;//圆心角的极大值
     while(minCentralAngle<maxCentralAngle-eps)
     {
         CentralAngle=(minCentralAngle+maxCentralAngle)/;
         radius=L//sin(CentralAngle/);
         L2=CentralAngle*radius;
         if(L2>=L1)//当弦长固定时，圆心角越大 ，弧长就越大
             maxCentralAngle=CentralAngle;
         else if(L2<L1)
             minCentralAngle=CentralAngle;
     }
     radius=L//sin(minCentralAngle/);
     ans=radius-L//tan(minCentralAngle/);
     printf("%.3lf\n",ans);
     return ;
 }

一定要注意：我们需要二分的内容是当前角度，那么角度的范围可以很容易发现，因为木棍长度不超过1.5倍那么就定角度为0-π因为如果圆心角过小会发现半径十分的大根本存不下，其实这种情况的时候木棍长度的变化也是十分的小的那么

if(n * c * L <= eps) 
判断一下如果满足那么直接就输出0.000，

另外要注意：当弦长固定时，圆心角越大 ，弧长就越大 。

网友JeremyGJY的代码和分析很好，摘抄一下:

JeremyGJY的代码:

 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 const double PI = asin(1.0);
 const double eps = 1e-;
 int main(){
     double Len1, Len2, Temp, ks;
     while(scanf("%lf%lf%lf", &Len1, &Temp, &ks) != EOF){
         Len2 = (1.0 + Temp * ks) * Len1;
         double l=, r=PI;
         if(Temp * ks * Len1 <= eps){
             printf("%.3lf\n", 0.0);
             continue;
         }
         while(l < r - eps){
             double mid = (l + r)/2.0;
             if(Len1/sin(mid)*PI*(mid/PI) >= Len2)
                 r = mid;
             else l = mid;
         }
         printf("%.3lf\n", Len1//sin(l)-Len1//sin(l)*cos(l));
     }

     return ;
 }

csdn网友Tank_long的分析更精彩，只不过下面这个图的公式似乎有点乱。

公式大概如下：

首先要注意θ角是圆心角的一半。然后根据数学公式有：

sinθ=2sin（θ/2）cos(θ/2)

1-cosθ=2sin(θ/2)²

然后还要注意根据直角三角形正弦的定义有：L=2*R*sinθ

根据弧长公式有LL=2*R*θ

所以h=R-R*cosθ=R*（1-cosθ）=L/(2*sinθ)*(1-cosθ)=L/(2*sinθ)*(2sin(θ/2)²)=L/( 2*  ( 2*sin（θ/2）*cos(θ/2)  )    )*(2sin(θ/2)² )

最后h=L/2*tan(θ/2)

注意到θ是圆心角的一半，所以θ得区间是0~PI，根据正切函数图形性质可以知道当L固定时，h跟θ是成正比关系的。

Tank_long的代码：（不得不佩服起数学功底啊……）

 #include<stdio.h>
 #include<stdlib.h>
 #include<math.h>
 int main()
 {
     double l, ll, rig, lef, mid, n, c;
     scanf("%lf%lf%lf", &l, &n, &c);  

     if(l<1e-)
     {
         printf("0.000\n");
         return ;
     }
     ll=l*(+n*c);
     lef=0.0;          //角的极小值
     rig=asin(1.0);    //角的极大值
     //由于三角函数转换，得到 h= (l/2)*tan(@/2) , 所以h只与角@有关,使用二分逼近法去求解最接近的@即可
     //注意，二分验证是让 ll与角@ 计算得到的 木棍原始长度l`=ll*sin@/@ 与 l 进行比较，且l`与@成反比例关系
     while(rig-lef>1e-)   //在极大值与极小值之间进行二分，这个地方精度控制太低就过不了了。精度要求很高。
     {
         mid=(rig+lef)/;
         if(ll*sin(mid)/mid<=l)
             rig=mid;
         else
             lef=mid;
     }
     printf("%.3lf\n", l/*tan(lef/));
     return ;
 }  

三角函数公式补充：

二倍角公式