【BZOJ2671】Calc 数学

【BZOJ2671】Calc

Description

　　给出N，统计满足下面条件的数对(a,b)的个数：
　　1.1<=a<b<=N
　　2.a+b整除a*b

Input

　一行一个数N

Output

　一行一个数表示答案

Sample Input

15

Sample Output

4

HINT

数据规模和约定
N <=2^31-1

题解：玄学数学题，推导过程不难但很扯，直接上式子：

设d=gcd(a,b)，则$a+b|ab$->$a'd+b'd|a'b'd^2$->$a'+b'|a'b'd$->$a'+b'|d$。

问题就变成了问你有多少个数对(a,b)满足a与b互质且$(a+b)d\le n$，$a+b|d$，又因为d>b所以b最多只能是$\sqrt n$。我们将其形式化的写出来：设$m=\sqrt n$

$\sum\limits_{b=1}^m\sum\limits_{a=1}^{b-1}[gcd(a,b)==1]\lfloor{n\over a+b}\rfloor$

反演一波$\sum\limits_{d=1}^m\mu(d)\sum\limits_{b=1}^{\lfloor {m\over d}\rfloor}\sum\limits_{a=1}^{b-1}\lfloor{n\over d^2(a+b)}\rfloor$

你敢相信。。。推到这就能A了吗？复杂度什么的见鬼去吧~

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100010;
ll n,m,ans;
int num;
int np[N],pri[N],mu[N];
inline ll calc(int n,int m)
{
	ll ret=0;
	int i,j,t,last;
	//for(i=1;i<=m;i++)	for(j=1;j<i;j++)	ret+=n/i/(i+j);
	//return ret;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		t=n/i;
		for(j=i+1;j<(i<<1)&&j<=t;j=last+1)
		{
			last=min((i<<1)-1,t/(t/j));
			ret+=1ll*(last-j+1)*(t/j);
		}
	}
	return ret;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n),m=sqrt(n);
	int i,j;
	ll last;
	mu[1]=1;
	//for(i=1;i<=m;i++)	for(j=1;j<i;j++)	if(gcd(i,j)==1)	ans+=n/i/(i+j);
	//printf("%lld\n",ans),ans=0;
	for(i=2;i<=m;i++)
	{
		if(!np[i])	pri[++num]=i,mu[i]=-1;
		for(j=1;j<=num&&i*pri[j]<=m;j++)
		{
			np[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)	break;
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(i=1;i<=m;i++)	last=calc(n/i/i,m/i),ans+=mu[i]*last;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}