DAG最小路径点覆盖

Problem

给出一个有向无环图 (\(DAG\))，求出最少使用其中多少条互不相交的路径覆盖所有点。

Solution

若有 \(n\) 个点，对于每个点 \(i\) ，我们将它拆成两个点 \(i\) 与 \(i'\)，分别放在一个二分图的两侧，然后，对于有向图中的每条边 \((a,b)\) 我们在二分图中将 \((a,b')\) 这两个点连在一起。

当所有边在二分图中已经相应连好之后，我们跑二分图最大匹配，可以使用匈牙利，不过个人更倾向建立一个超级源点连向左侧每个点，建立一个超级汇点被右侧每个点所连，然后跑网络最大流。

假设最大流为 \(maxflow\) ，则最小路径覆盖数为 \(n-maxflow\) 。

Confirmation

由于要求选出的每条路径都要不相交，那么对于每条路径中的点，它的入度与出度均不会大于 \(1\) 。尤其对于每个起点，入度必定为 \(0\) ，每个终点出度必定为 \(0\) 。

那么由于 \(DAG\) 中的每条边都已经放到了二分图里，对于 \(DAG\) 最小路径选边的情况必定已经能够在二分图里选出来了。

接着我们考虑一下所要求的问题，显然一条路径只会有一个终点，且一个终点必定属于某条路径。而终点的出度又必定为 \(0\) 。那么这样对应的选边情况放到二分图里呢？我们就会发现：

• 对于一个点 \(i\) ，它指向 \(j\) 的出边必定在二分图上为 \((i,j')\)
• 对于一个点 \(i\) ，如果它的出度为 \(0\) ，那么二分图上的 \(i\) 必定不与任意一个 \(j'\) 所匹配。
• 选出的路径最少 \(\Leftrightarrow\) 终点最少 \(\Leftrightarrow\) 二分图左侧的未匹配点最少 \(\Leftrightarrow\) 二分图匹配数最大

那么根据以上证明，可以得出：最少路径= 最少终点 = 总点数-最大匹配数 = \(n-maxflow\) 。

证毕。